
- •2.2. Конспект лекции Лекции № 1-3 Тема 1. Линейная алгебра
- •§ 1.1. Матрицы. Определители 2-го и 3-го порядков. Свойства
- •Например, матрица a размера 23 записывается в виде:
- •§ 1.2. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение
- •§ 1.3. Некоторые виды матриц и их определители
- •§ 1.4. Операции над матрицами. Обратная матрица. Ранг матрицы
- •§ 1.5. Ранг матрицы
- •§ 1.6. Системы линейных алгебраических уравнений (с.Л.А.У.). Матричный метод решения, правило Крамера.
- •§ 1.7. Метод Гаусса для исследования и решения с.Л.А.У.
- •§1.8. Однородные и неоднородные системы линейных алгебраических
- •Контрольные вопросы
- •Литературы:
- •Лекции № 4-6 Тема 2. Векторная алгебра
- •§2.1. Декартовы системы координат на прямой, плоскости и в пространстве. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
- •§ 2.2. Простейшие задачи аналитической геометрии
- •§ 2.3. Векторы и линейные операции над ними. Базис векторного
- •§ 2.4. Базис векторного пространства. Координаты вектора
- •§ 2.5. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •§ 2.6. Векторное произведение векторов и его свойства.
- •§ 2.7. Cмешанное произведение векторов и его свойства
- •Свойства смешанного произведения.
- •Литературы:
- •Глава 5 § 1,2,3,4,5 стр. 110-142
§ 1.6. Системы линейных алгебраических уравнений (с.Л.А.У.). Матричный метод решения, правило Крамера.
Определение. Системой из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными называется система вида:
(1.1)
Здесь переменные x1,x2,...,xn называются неизвестными системы, числа aij, где i=1,2,…,m, j=1,2,…,n называются коэффициентами системы, а числа b1,b2,...,bm – свободными членами.
Числа x1,x2,...,xn, обращающие все уравнения системы в тождества, называются решением системы. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
Пример1.
Система
совместна, так как имеет решениеx1=1,
x2=2.
Система
несовместна.
Имеется более краткая запись С.Л.А.У., она состоит в следующем.
Обозначаем через A матрицу размера mn, составленную из коэффициентов при неизвестных
.
Она называется
матрицей
системы.
Столбец свободных членов обозначим
через
,
а столбец из неизвестных системы через
.
Тогда систему (1.1) можно записать в виде
матричного уравнения:
или короче AX=B.
Эта запись называется матричной формой записи системы.
В случае, если матрица A квадратная, матричная форма записи позволяет решить систему с использованием обратной матрицы A-1.
Теорема. С. Л. А. У. имеющая квадратную невырожденную
матрицу, имеет единственное решение, которое находится по формуле: X=A-1B.
Доказательство. Умножим обе части равенства AX=B слева на A-1, получим A-1AX=A-1B, отсюда EX=A-1B и X=A-1B.
Метод решения С.Л.А.У. с использованием соотношения X=A-1B называется матричным методом решения.
Пример2.
Решим систему
матричным методом.
Матрица этой
системы
– невырожденная,A=–3.
Найдём обратную матрицу
.
Для данной системы
,
поэтому
,cледовательно
x1=1,
x2=2.
Данный метод решения систем можно записать и в несколько ином виде, который называется правилом Крамера.
Следствие.
Пусть С.Л.А.У.
имеет квадратную матрицу A n-го порядка,
A=0.
Пусть i
– определитель матрицы системы, в
которой вместо i-го столбца подставлен
столбец свободных членов. Тогда эта
система имеет единственное решение,
которое находится по формулам
Эти формулы называютсяформулами
Крамера.
Пример3.
Решим систему
по правилу Крамера.
поэтому:
§ 1.7. Метод Гаусса для исследования и решения с.Л.А.У.
Матричный метод и правило Крамера обладают двумя существенными недостатками. Во–первых, они применимы только для систем с невырожденной квадратной матрицей и не работают в случае, когда =0. Во–вторых, с ростом n объём вычислений для этих методов слишком быстро возрастает и для n10 они уже практически неприменимы. Для исследования систем линейных уравнений и нахождения их решений можно использовать метод Гаусса.
Исследовать систему – это значит определить совместна ли она и, в случае совместности, определить, сколько решений она имеет.
Определение. Расширенной матрицей С.Л.А.У. называется матрица, полученная из матрицы системы приписыванием справа столбца свободных членов системы.
Для системы из m
уравнений с n
неизвестными, она имеет размер m(n+1)
и обозначается через
.
Свободные члены обычно отделяются вертикальной чертой.
Понятно, что ранг
либо равен рангу A, либо превышает его
на 1. Следующая теорема позволяет
устанавливать факт совместности или
несовместности системы.
Теорема Кронекера
– Капелли.
Система
линейных алгебраических уравнений
совместна только в том случае, когда
ранг её матрицы совпадает с рангом
расширенной матрицы (r(A)=
r()).
Если r(A)r(
),
то СЛАУ решений не имеет.
Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы.
Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, т.е. r=n, то система имеет единственное решение.
Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, т.е. r<n, то система неопределенная и имеет бесконечное множество решений.
Пусть r<n.
r
неизвестных
называются базисными, если определитель
матрицы из коэффициентов при них (т.е.
базисный минор) отличен от нуля. Остальныеn-r
называются свободными.
При решении системы линейных уравнений не нужно отдельно вычислять ранги, а затем их сравнивать. Достаточно сразу применить метод Гаусса.
Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя преобразования не над самими уравнениями, а над матрицей их коэффициентов.
Достоинства метода Гаусса по сравнению с другими :
Значительно менее трудоемкий;
Позволяет однозначно установить, совместна система или нет, а в случае совместности найти её решения (единственное или бесконечное множество);
Дает возможность найти максимальное число линейно независимых уравнений – ранг матрицы системы.
Пример4.
Исследовать и решить систему
Запишем расширенную
матрицу
и приведём её к треугольному виду:
т.к. r()=r(A)=3
система совместна и имеет единственное
решение. По последней матрице
восстанавливаем систему и решаем её
начиная с последнего уравнения.
Мы получили, что
r(A)=2,
r()=3
т.е.r(A)
r(
).
Система решений не имеет.
Пример 5.
Исследовать и решить систему
Запишем и приведем
к треугольному виду матрицу
.
Мы получили, что
r(A)=2,
r()=3
т.е.r(A)
r(
).
Система решений не имеет.
Пример 6.
Исследовать и решить систему
.
Запишем и приведем
к треугольному виду матрицу
.
Здесь r(A)=r()=2<3.
Система имеет бесконечно много решений
зависящих от 3–2=1 свободного неизвестного
.
Задавая свободному неизвестному
произвольные значения
=с,
найдем
бесконечное множество решений системы.
Восстановим систему по последней
матрице и решим её.