Занятие 7 Уравнение прямой на плоскости

ЗАНЯТИЕ 7

УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ

План:

1. Различные типы уравнений прямой на плоскости.

2. Связь между типами уравнений прямой на плоскости.

3. Взаимное расположение прямых на плоскости.

4. Угол между двумя прямыми.

5. Расстояние от точки до прямой.

Теоретические положения

Прямая линия на плоскости

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. y= kx + b.

Общее уравнение прямой. Ах + Ву + С = 0

Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом и проходящей через данную точку. y-y₁=k(x-х₁).

Уравнение прямой в отрезках.

Основные задачи на прямую

1. Составить уравнение произвольной прямой, проходящей через точку M₁(x₁;y₁). Пусть уравнение искомой прямой

Ах + Ву + С = 0. (1)

Значит, M₁ лежит на этой прямой. Поэтому

Ax₁+By₁ + C = 0. (2)

Вычитая из (1) почленно (2), получаем

A(x-x₁)+B(y-y₁)=0. (3)

Очевидно, при любых А и В уравнению (3) удовлетворяют координаты точки M₁.

2. Составить уравнение прямой, проходящей через две данные (различные) точки M₁(x₁; y₁) и M₂(x₂; у₂). Уравнение прямой, проходящей через точку M₁(x₁;y₁), имеет вид (3). Так как прямая проходит и через точку М₂, то

А(х₂-х₁)+В(у₂-у₁) = 0, откуда

(4)

3. Угол между двумя прямыми. Рассмотрим на плоскости две прямые

l₁(y = k₁x + b₁) и l₂(y = k₂x +b₂) с углами наклона к оси Ох соответственно φ₁ и φ₂ (рис. 12).

4. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Если две прямые l₁ и l₂ лежат на плоскости, то возможны три различных случая их взаимного расположения:

1) пересекаются (т.е. имеют одну общую точку);

2) параллельны и не совпадают;

3) совпадают.

Если прямые l₁ и l₂ параллельны, то φ₁ = φ₂ и, следовательно, k₁ = k₂, т.е. параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты.

Пусть φ= π / 2 , т.е. l₁ и l₂ взаимно перпендикулярны. В этом случае k ₂= - 1 / k ₁

т. е. угловые коэффициенты взаимно перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.

Задания для работы в аудитории

1. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку М(0;b) и имеющей угловой коэффициент k: а) М(0;2), k=1; б) М(0;0), k=-1.

2. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку М (х₀;у₀) и имеющей угловой коэффициент k: а) М(1;1), k=2 ; б) М(-2;3), k=-4.

3. Составьте уравнение прямой, отсекающей на оси ординат отрезок а) b=3, и образующий с положительным направлением оси угол φ=π/4; б) b=3, и образующий с положительным направлением оси угол φ=3π/4.

4. Составьте уравнение прямой, проходящей через а) начало координат и точку А(-2;3); б) начало координат и точку В(2;-3).

5. Дано общее уравнение прямой -12х-5у-65=0. Напишите это уравнение в виде: а) уравнения прямой с угловым коэффициентом; б) уравнения прямой в отрезках.

6. Дано общее уравнение прямой 2х-3у-12=0. Напишите это уравнение в виде: а) уравнения прямой с угловым коэффициентом; б) уравнения прямой в отрезках.

7. Постройте прямые : а) ; б) ; в) ; г) .

8. Прямая проходит через точки А и В: а) А(0;2), В(5;0); б) А(-3;0), В(0;-2); в) А(0;1), В(-2;0). Напишите уравнение прямой в отрезках.

9. Параллельны ли прямые : а) 2х+3у-7=0 и 2х+3у+9=0; б) у=2х+3 и 4у-8х=1; в) х=3 и 10у+5=0?

10. Перпендикулярны ли прямые : а) 3х-5у+7=0 и 10х+6у-3=0; б) 2х-3у+11=0 и х+2у-1=0?

11. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А (2;3) и: а) параллельно прямой у=2х+5; б) перпендикулярно прямой у=2х+5.

12. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А (-1;2) и: а) параллельно прямой у=4х-7; б) перпендикулярно прямой у=4х-7.

13. Найдите координаты точки пересечения прямой 4х-3у-10=0 а) с осью Ох; б) с осью Оу.

14. Найдите координаты точки пересечения прямой 4х-3у-10=0 а) с осью Ох; б) с осью Оу.

15. Найдите точку пересечения двух прямых: а) 2х-4=0 и х-3у+1=0; б) 7х-9у+15=0 и 19х+12у-20=0.

16. Определите координаты вершин треугольника, если даны уравнения его сторон 2х+4у+1=0, х-у+2=0 и 3х+4у-12=0.

17. Даны уравнения сторон треугольника 2х-5у=3, х+3у=7 и 3х-2у+1=0. Напишите уравнение его высот.

18. Найдите угол между прямыми : а) у=- 2/5 х + 3 и у= 3/7 х +2/7; б) 6х+8у+5=0 и 2х-4у-3=0.

19. Под каким углом пересекаются прямые : а) х-2у-2=0 и у=; б) 3х+у-2=0 и х-3у+1=0; в) 4х-6у+7=0 и 20х-30у-11=0?

20. Найдите расстояния от точек О(0;0), А(1;2), С(-2;1), К(-3;0) до прямой 3х-4у+10=0.

21. Даны уравнения сторон треугольника х-3у+5=0, 3х+4у+2=0 и 5х-2у-14=0. Найдите длины высот, опущенных на первые две указанных прямых, определяющих стороны треугольника.

22. Через точку пересечения двух прямых: 2х-у-3=0 и х-3у-4=0 проведена прямая, параллельная прямой х+у=1. Напишите уравнение проведенной прямой.

23. Через точку пересечения двух прямых: х+2у+2=0 и 3х+4у+9=0 проведен перпендикуляр к прямой 2х+3у-6=0. Напишите уравнение этого перпендикуляра.

24. Даны 2 стороны параллелограмма х-у+1=0 и 3х+2у-12=9 и точка К(6;4) – точка пересечения его диагоналей. Напишите уравнения двух других сторон параллелограмма.

25. Дано общее уравнение прямой 2х-3у + 6=0. Напишите это уравнение в виде: а) уравнения прямой с угловым коэффициентом; б) уравнения прямой в отрезках.

26. Определите длину отрезка прямой а) , заключенного между точками пересечения прямой с осями координат.

Домашнее задание № 7

1. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А (2;5) и отсекающей на оси ординат отрезок b=7.

2. Составьте уравнения прямых, проходящих через стороны треугольника с вершинами А(1;3), В(0;2), С(-1;1). Постройте прямые.

3. Прямая проходит через точки А(0;1) и В(-2;0). Напишите уравнение прямой в отрезках.

4. Определите площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой .

5. Параллельны ли прямые : а) 3х-6у+4=0 и 5х-10у-1=0; б) у=х+1 и 2у-х=1; в) 3х-5у=0 и 6х+10у+5=0?

6. Перпендикулярны ли прямые : а) 3х-у-3=0 и х+3у-17=0; б) 2х+5у-6=0 и 5х+2у-3=0?

7. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А(-3;2) и а) параллельно прямой 7х+4у-11 =0; б) перпендикулярно прямой 7х+4у-11 =0.

8. Найдите координаты точки пересечения прямой 3х-4у+12=0 а) с осью Ох; б) с осью Оу.

9. Определите координаты вершин треугольника, если даны уравнения его сторон х-3у+11=0, 5х+2у-13=0 и 9х+7у-3=0.

10. Даны координаты вершин треугольника А(0;1), В(6;5) и С(12;-1). Напишите уравнения всех высот и медиан.

11. Под каким углом пересекаются прямые : а) у=3х+5 и у=-2х+7; б) 3х+у-7=0 и 2х-у+1=0?

12. Найдите расстояния от точек О(0;0), А(-1;1), С(2;-1) до прямой х-2у+1=0.