I уровень

1.1.Решите уравнение:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

II уровень

2.1.Решите уравнение:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

III уровень

3.1.Решите уравнение:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

3.2.Найти количество натуральных корней уравнения

3.3.Решите уравнение:

если

3.4.Найдите все значенияа,при которых уравнениеимеет единственный корень.

3.5. Для каждого значенияанайдите множество решений:

3.6.Определите, при каком значенииауравнение имеет ровно три решения:

1) 2)

3.4. Системы и совокупности уравнений

Пусть даны два уравнения с двумя неизвестными игде– некоторые выражения с переменнымихиу. Если ставится задача найти все общие решения данных уравнений, то говорят, что заданасистема уравнений:

(3.15)

Решить систему (3.15) – значит найти все пары чисел которые являются решением каждого уравнения, или доказать, что таких пар чисел не существует.

Аналогично определяется понятие системы с тремя и более неизвестными.

Системы, все уравнения которых однородные, называются однороднымисистемами уравнений.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если таких решений не существует.

Две системы уравнений эквивалентны(равносильны), если они имеют одни и те же решения или обе не имеют решений.

Над уравнениями системы можно выполнять следующие действия, преобразующие данную систему в эквивалентную ей:

1) менять порядок следования уравнений;

2) умножать на число любое уравнение;

3) умножать на число одно уравнение системы и прибавлять его к другому уравнению.

Несколько уравнений образуют совокупность уравнений

если ставится задача найти все те решения, которые удовлетворяют хотя бы одному уравнению совокупности и входят в область определения остальных уравнений.

Система двух линейных уравненийс двумя неизвестными имеет вид:

(3.16)

где

Геометрически каждому уравнению системы (3.16) соответствует прямая линия на плоскости:

и

Справедливы утверждения:

1) если то система (3.16) имеет единственное решение (геометрически – прямыепересекаются в определенной точке);

2) если то система (3.16) не имеет решений (прямыепараллельны);

3) если то система (3.16) имеет бесконечно много решений (прямыеи– совпадают).

Основными методами решения систем уравнений (3.15) являются:

1) метод подстановки;

2) метод исключения неизвестной;

3) метод сложения;

4) метод умножения (деления) уравнений;

5) метод замены переменных;

6) графический метод.

Пример 1. Решить систему

Решение. Решим методом сложения. Для этого первое уравнение системы умножим на и прибавим ко второму:

откуда следует

Получаем

т. е.

Следовательно,

Заданная система сводится к решению совокупности систем:

Ее решением являются пары чисел:

Пример 2. Решить систему

Решение. ОДЗ:

Заменим в первом уравнении системы тогда

Получим дробно-рациональное уравнение:

Решаем его

Возвращаемся к переменным х, у:

–подходит по ОДЗ.

Получили ответ

Пример 3. Решить систему

Решение. Данная система относится к симметрическим системам (неизвестные входят одинаково). Решение таких систем производят стандартной заменой переменных

(3.17)

Далее используем метод сложения:

т. е.

Получаем корни этого квадратного уравнения:

С учетом системы (3.17) имеем:

Возвращаясь к переменным х, у, получаем:

Решим записанные системы отдельно:

1) (3.18)

Возвращаясь к системе (3.18), получаем:

т. е. имеем два решения и

2) (3.19)

Поскольку для последнего квадратного уравнения система (3.19) не имеет решения.

Получили ответ

Пример 4. Решить систему графически:

1) (3.20)

2)

Решение. 1) Исходя из геометрического смысла, – уравнение окружности с центроми радиусом– прямая, параллельная осиОх и проходящая через точку

Построим эти линии (рис. 3.2).

Рис. 3.2

Графики имеют две точки пересечения, т. е. система имеет два решения, которые найдем из системы (3.20):

Получили ответ

2) Уравнение может быть записано в видеи является уравнением гиперболы .

Уравнение может быть записано в виде– это биссектриса II и IV координатных углов.

Выполним построение (рис. 3.3).

Рис. 3.3

Графики не имеют точек пересечения и, следовательно, система решений не имеет.

Пример 5. Решить систему

Решение. Система содержит однородное уравнение.

Так как получим:

Из второго уравнения найдем х:

Получаем совокупность двух систем:

Приходим к ответу и

Задания