4. Числовые функции

4.1. Функция, ее свойства и график

Пусть XиY некоторые числовые множества

Если каждому по некоторому правилуfставится в соответствие единственный элементто говорят, чтозадана функция. Обозначается

где х– аргумент или независимая переменная функции;у– значение функции или зависимая переменная.

Множество Х значений независимой переменной называется областью определения функции и обозначается или

Множество всех значений зависимой переменной Y называется множеством значений функции и обозначается или

Частное значение функции при заданном частном значении аргументаобозначается

Отметим особенности отыскания области определения некоторых функций:

1) область определения дробно-рациональной функции

где P(x),Q(x) – некоторые многочлены,определяется условием:

2) если аналитическое выражение функции содержит квадратный корень, т. е. задана функция то

В случае задания функции формулой ее область определения– это ОДЗ выражения

Графиком функции называется множество всех точек плоскости с координатамигде

Способы задания числовой функции:

1) табличный– указываются значения переменнойхи соответствующие им значения переменнойy, составляется таблица (можно использовать для записи наблюдений);

x	…	…	…
f(x)	…	…	…

2) аналитический – указывается область определения функциии задается формула, по которой каждому значениюставится в соответствие

3) графический– задается график функции.

Свойства функции:

1. Четность и нечетность функции.

Функция называетсячетной, если:

1) – симметричное множество относительно

2) для любого выполняется равенство

Функция называетсянечетной, если:

1) – симметричное множество относительно

2) для любого выполняется равенство

Если функция является четной или нечетной, то говорят, чтоона обладает свойством четности.

График четной функции симметричен относительно оси график нечетной – относительно начала координат.

Свойства четных (нечетных) функций:

1) если fиg– четные функции на множествеХ, то функции

– четные функции наХ;

2) если f и g – нечетные функции на множестве Х, то функции

– нечетные функции наХ;

– четные функции наХ.

2. Периодичность функции.

Функция с областью определенияназываетсяпериодической,если существует такое числочто для любого значениявыполняются условия:

1)

2)

Число Тназываетсяпериодом функции.

Числа гдетакже будут периодами функции.

Наименьший из положительных периодов, если он существует, называется основным периодом.

Значения периодической функции повторяются через период Т. Следовательно, для построения графика данной функции достаточно построить часть графика на любом из промежутков длиныТ (из), а затем произвести параллельный перенос данной части графика вдоль осиОхна.

Если функция – периодическая и имеет периодТ, то функциягдеA,kитакже периодична, причем ее период равен

Справедливы утверждения:

1) если и– периодические функции с общим периодомТ, то функции– также периодические, с тем же периодомТ;

2) для того, чтобы периодические функции ис периодамиТ₁иТ₂имели общий периодТ(числоТдолжно нацело делиться наТ₁иТ₂), необходимо и достаточно, чтобы отношениебыло числом рациональным.

3. Монотонность функции.

Пусть х₁,х₂– произвольные значения из областифункциитакие, что

Если при данном условии выполняется:

то функция называетсявозрастающей;

–убывающей;

–неубывающей;

–невозрастающей.

Возрастающие, убывающие, неубывающие, невозрастающие функции называются монотоннымифункциями (возрастающие и убывающие – строго монотонными).

Функция называетсякусочно-монотонной на множестве Х, если данное множество можно разделить на конечное число промежутков, на каждом из которых функция монотонна.

4. Промежутки знакопостоянства функции. Нули функции.

Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (т. е. или), называютсяпромежутками знакопостоянства.

Значения аргумента при которых функцияназываютсянулями функции. Нули функции – это точки пересечения графика функции с осьюОх.

Пример 1. Найти область определения функции

Решение.

(4.1)

Найдем соответствующее множество точек.

Неравенство равносильно неравенству

Решая его, получаем (рис. 4.1):

Рис. 4.1

Условие означает, чтот. е.

Приходим к заключению, что

Получаем

Таким образом, система (4.1) равносильна системе

Следовательно,

Пример 2. Найти множество значений функции

Решение. Найдем область определения функции

Последнее условие выполняется только для Вычисляем значение функции в этой точке:

Следовательно,

Пример 3. Исследовать функцию на четность:

1) 2)3)

Решение. 1) Замечаем, что функция имеетСледовательно, функция определена на симметричном множестве.

Рассмотрим ее значение для –х:

Поскольку выполняются оба условия четности функции, заключаем, что функция – четная.

2) Функция имеет

Так как не является симметричным множеством, второе условие проверять нет необходимости. Эта функция не обладает свойством четности.

3) Очевидно, что функция имеетт. е. определена на симметричном множестве и для нее справедливо равенство:

Оба условия нечетности функции выполняются, а потому данная функция является нечетной.

Пример 4. Пусть гдеПричем, функция имеет период 2. Построить ее график.

Решение. Построим график данной функции на (рис. 4.2).

Рис. 4.2

Исходя из определения периодической функции, должно выполняться условие: где

Строим ее график, продолжая по периоду (рис. 4.3).

Рис. 4.3

Пример 5. Используя определение монотонной функции, найти значения а, при которых функция гдемонотонно возрастает.

Решение. ПустьФункция монотонно возрастает, если выполняется условиеилиЭто означает, что

Поскольку последнее неравенство выполняется, еслит. е.

Таким образом, функция возрастает для

Пример 6. Дана функция

Определить промежутки знакопостоянства функции, нули функции. Построить график данной функции.

Решение. Так как на каждом из данных промежутков аналитические выражения, задающие функцию, определены в каждой точке, следовательно,

1. Исследуем функцию при На данном промежутке функция принимает значение, равное 1, т. е. она знакоположительна и нулей функции нет.

2. Пусть

При таком условии функция задается формулой и Функция знакоположительна. Здесь она имеет нуль

3. Пусть

Очевидно, что при этом условии так какНулей функции на этом промежутке нет.

Построим график:

- если строим часть прямой линии

- если – часть параболы

- если – часть прямой

Получили график заданной функции (рис. 4.4).

Рис. 4.4

Таким образом, функция знакоположительна имеет нуль

Задания