I уровень
1.1. Определите, принадлежит ли точка графику функции
1) 2)
3) 4)
1.2. Найдите область определения функции:
1)2)
3) 4)
1.3. Постройте график функции и определите область ее значений:
1) 2)3)4)
II уровень
2.1. Найдите область определения функции:
1) 2)3)
4) 5)
2.2. Постройте график функции:
1) 2)
3) 4)
III уровень
3.1. Найдите область определения функции:
1) 2)
3) 4)
3.2. Найдите функцию, обратную данной. Укажите область определения и область значений обеих функций. Постройте графики данной функции и обратной в одной системе координат:
1) 2)
3.3. Найдите множество значений функции:
1) 2)
5.4. Иррациональные уравнения
Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестную под знаком корня или под дробным показателем. (В этом параграфе термин «корень» будет соответствовать операции извлечения корня с определенным показателем, в отличие от термина «решение»).
Основной метод решения таких уравнений – возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, чтобы корни исчезли. Иногда приходится возводить в степень несколько раз. При этом следует анализировать, какие корни надо оставлять в левой части уравнения, а какие корни перенести в правую часть (если корней несколько). От этого часто зависит рациональность решения.
Поскольку корни нечетной степени определены для любых по знаку подкоренных выражений и принимают любые по знаку значения, то возведение уравнения в нечетную степень является равносильным преобразованием (т. е. мы не теряем решений и не получаем посторонних).
Корни с четным показателем определены дляf(x) 0. Возведение уравнения, содержащего такие корни, в четную степень может изменить ОДЗ уравнения и привести к посторонним решениям. В таком случае итоговым моментом в решении уравнения является проверка полученных решений подстановкой в заданное уравнение. Проверка решения по ОДЗ такого уравнения недостаточна.
ОДЗ иррационального уравнения следует находить в том случае, если предполагается, что она состоит только из нескольких чисел или может быть пустым множеством. Если ОДЗ состоит из одного, двух и т. д. чисел, то уравнение можно не решать, а эти числа проверять (являются ли они решением) подстановкой в заданное уравнение.
Если ОДЗ есть пустое множество, то уравнение не имеет решений.
При решении иррациональных уравнений используют также метод замены переменной и другие методы.
Если имеется уравнение вида гдес 0, то оно не имеет решений, так как корни с четным показателем понимаем в арифметическом смысле, т. е. как неотрицательные.
Некоторые типы иррациональных уравнений
Пусть далее – некоторые выражения с неизвестнойх,
I тип: уравнение вида
(5.1)
Возведение в -ю степень приводит к равносильному уравнению
Уравнение
(5.2)
после возведения в -ю степень сводится к равносильному уравнению
Уравнение
(5.3)
после возведения в степень 2n приводит к уравнению-следствию
(5.4)
Найденные корни уравнения (5.4) проверяют подстановкой в уравнение (5.3) и отбирают те из них, которые удовлетворяют уравнению (5.3).
Уравнение
(5.5)
после возведения в степень 2n сводится к уравнению-следствию
(5.6)
Корни уравнения (5.6) необходимо проверить подстановкой в уравнение (5.5).
II тип: уравнение вида
(5.7)
где
1-й способ. Необходимо возвести уравнение (5.7) в квадрат. В определенных случаях следует один из корней перенести в правую часть уравнения. После упрощения полученное уравнение возводят в квадрат еще раз.
2-й способ. Умножение уравнения (5.7) на сопряженное выражение
Отдельно проверяют, имеет ли решение уравнение h(x) = 0. Затем для h(x) 0 рассматривают систему
Сложение уравнений этой системы приводит к уравнению вида (5.3).
3-й способ. Замена переменных
и переход к системе уравнений относительно u, v.
Уравнение
(5.8)
где a, b R, возведением в куб обеих частей сводится к уравнению
(5.9)
Выражение в скобках (в левой части уравнения (5.9)) заменяют на используя заданное уравнение. В итоге заданное уравнение (5.8) приводится к уравнению-следствию, которое снова возводят в куб.
Полученные таким образом решения необходимо проверить подстановкой в уравнение (5.8).
III тип: уравнения, решаемые заменой переменной.
В результате замены может уменьшиться степень выражений, стоящих под корнями, что приведет к уменьшению степени рационального уравнения после избавления от корней.
Если уравнение имеет вид
(5.10)
где F – некоторое алгебраическое выражение относительно то заменойоно сводится к уравнению
(5.11)
После решения уравнения (5.11) возвращаются к старой переменной и находят решения уравнения (5.10).
IV тип: уравнения, решаемые исходя из арифметического смысла корней с четными показателями. В частности, решение уравнения
(5.12)
где a > 0, b > 0, сводится к решению системы
V тип: уравнения, решаемые функциональными методами и методами, основанными на ограниченности входящих в уравнение функций.
Решение уравнений основывается на следующих утверждениях.
1. Если идля всех, то на множествеX уравнение f(x) = g(x) равносильно системе уравнений
2. Если функции f(x) и g(x) непрерывны и f(x) возрастает, а g(x) убывает для x X, то уравнение f(x) = g(x) имеет не больше одного решения на промежутке X. Если один корень подобрать, то других корней нет.
3. Если f(x) – возрастающая функция, то уравнение равносильно уравнению
4. Если f(x) – возрастающая (убывающая) функция, то уравнение равносильно уравнению
Пример 1. Решить уравнение
Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат:
Приводим подобные. При этом в левой части уравнения записываем корень, остальные слагаемые – в правой части:
Возводим полученное уравнение в квадрат еще раз:
Решая последнее квадратное уравнение, находим корни которые теперь необходимо проверить. Делаем проверку корней подстановкой в исходное уравнение. Первый корень не подходит.
Приходим к ответу:
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Возведем обе части уравнения в куб:
Воспользовавшись исходным уравнением, заменим выражение выражениемПолучаем:
Решаем совокупность уравнений
В результате замены выражения могут появиться посторонние корни, так как такое преобразование не является равносильным. Поэтому необходимо произвести проверку. Подставляем найденные значения и убеждаемся, что они являются корнями исходного уравнения.
Приходим к ответу:
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Возведение уравнения в квадрат приводит к уравнению четвертой степени и громоздкому решению.
Нетрудно заметить, что в данном уравнении можно произвести замену. Но перед этим преобразуем уравнение следующим образом:
Заменив получаем квадратное уравнение
Решая его, находим корни
Возвращаемся к исходной неизвестной:
Первое уравнение решений не имеет, так как его левая часть неотрицательна, а правая – отрицательна. Второе уравнение возводим в квадрат. Получаем:
т. е.
Его корни С помощью проверки убеждаемся, что оба корня подходят, т. е. приходим к ответу:
Пример 4. Решить уравнение
Решение. 1-й способ. Перенесем второй корень вправо:
Возводим обе части в квадрат:
Еще раз возводим в квадрат и получаем квадратное уравнение, решая которое и получаем корни Делаем проверку корней подстановкой в исходное уравнение. Оба корня подходят.
2-й способ. Введем замену тогда Таким образом получили более простое уравнение
т. е.
Возведем его в квадрат:
Возвращаемся к исходной неизвестной:
Возводим обе части уравнения в квадрат:
откуда
При помощи проверки убеждаемся, что оба корня подходят.
3-й способ. Домножим обе части уравнения на выражение, сопряженное левой части исходного уравнения. Получим:
Сложим последнее уравнение с исходным. Получим:
т. е.
Последнее уравнение возводим в квадрат. Получаем квадратное уравнение
Решая его, находим корни
Приходим к ответу:
Пример 5. Решить уравнение
Решение. Пусть Тогда и по условию.
Получили систему
Решаем ее методом подстановки:
Второе уравнение решим отдельно
Получаем корни:
Возвращаемся к системе:
Получаем:
Переходим к заданным неизвестным:
Решая последнюю совокупность, находим корни иС помощью проверки убеждаемся, что оба корня подходят.
Получили ответ:
При решении иррациональных уравнений, как правило, нахождение ОДЗ является бесполезным, так как проверка решений по ОДЗ недостаточна. Но существует ряд примеров, в которых нахождение ОДЗ является тем методом, который приводит к успеху. Покажем это на следующем примере.
Пример 6. Решить уравнение
Решение. Найдем ОДЗ данного уравнения:
Решаем последнюю систему неравенств графически (рис. 5.10).
Рис. 5.10
Получили, что ОДЗ состоит из единственной точки
Остается подставить значение в уравнение и выяснить, является ли оно решением:
Получили, что – решение.
Пример 7. Решить уравнение
Решение. Используем графический способ. Строим графики функций (рис. 5.11).
Рис. 5.11
Из рисунка видно, что графики пересекаются в единственной точке x = 7. Следовательно, уравнение имеет единственное решение. Проверяем x = 7 подстановкой в заданное уравнение и убеждаемся, что это точное значение решения уравнения.
Получили ответ: x = 7.
Задания