11. Производная функции

11.1.Понятие производной. Правила

дифференцирования. Таблица производных

Пусть функция определена в точкеи в некоторой ее окрестности,x – точка из рассматриваемой окрестности. Прира­щением аргумента в точке называется величинаприращением функции – величина Если выразитьто

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, при условии, что предел существует.

Производную в точке обозначают По определению

(11.1)

или, что то же,

(11.2)

при условии, что пределы (11.1) и (11.2) существуют.

Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Производная функции в точке – это число. Если функция дифференцируема на некотором множестве X из ее области определения, то также является функцией (ее обозначают также).

Основные правила дифференцирования

Пусть – дифференцируемые функции. Справедливы формулы:

где (11.3)

где (11.4)

(11.5)

(11.6)

(11.7)

Таблица производных основных элементарных функций

где в частности:

где в частности,

где в частности

Пример 1. Найти производную функции в точкепользуясь определением, если:

1) 2)

Решение. 1) Используем определение производной в виде формулы (11.1):

Поскольку по условию то

2) По формуле (11.1) получаем:

Далее, применив тригонометрическую формулу

получим:

Так как при имееми, применив формулу первого замечательного предела, получаем:

Поскольку по условию то

Пример 2. Вычислить производную функции пользуясь определением производной.

Решение. Пусть x – произвольная фиксированная точка из Пользуясь формулой (11.1), имеем:

Таким образом, операция дифференцирования ставит в соответствие функции функцию

Пример 3. Найти производную функции:

1) 2)3)

Решение. 1) Дифференцируем функцию и используем формулы (11.4), (11.5) и таблицу производных, получаем:

2) Дифференцируем функцию по формулам (11.3)–(11.6) и соответствующим формулам таблицы производных:

3) Дифференцируем функцию по формулам (11.7), (11.5), (11.3) и первой формуле таблицы производных:

Пример 4. Вычислить производную функции, используя правила дифференцирования и таблицу производных:

1) 2)

3)

Решение. 1) Преобразуем функцию, пользуясь свойствами логарифма:

Полученное выражение дифференцируем по формулам (11.4)–(11.6) и формулам таблицы производных:

2) Перед дифференцированием преобразуем выражение, пользуясь свойствами логарифма:

Дальше воспользуемся формулами (11.3)–(11.5) и таблицей производных:

3) Так как непосредственное дифференцирование вызывает значительные трудности, предварительно упростим выражение по формулам тригонометрии:

Полученное выражение дифференцируем по формуле (11.7) и соответствующим формулам таблицы производных:

Задания

I уровень

1.1. Пользуясь определением, найдите производную функции:

1) 2)3)

1.2. Найдите производную функции:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

1.3. Найдите если:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

1.4. Вычислите:

1) если

2) если

3) если

1.5. Вычислите если

1.6. Вычислите если

1.7. Решите уравнение:

1) где

2) где