КР по ОАиП / Учебное пособие Батура М.П. и Со

Первый этап аналогичен рассмотренному в алгоритме удаления, а второй проводится только при условии, что искомый элемент найден, т.е. указатель на него key не равен NULL.

Этап второй – вставка

1.Захватываем память под новый элемент t = (Spis*) malloc(sizeof(Spis));

2.Формируем информационную часть: scanf(“%d”, &t -> info);

3.Связываем новый элемент с предыдущим t -> Prev = key;

4.Связываем новый элемент со следующим t -> Next = key -> Next;

5.Связываем предыдущий элемент с новым key -> Next = t;

6.Если элемент добавляется не в конец списка (как показано на схеме ниже), т.е. key != end, то

( t -> Next ) -> Prev = t;

7. Иначе, если key = end, то указатель key->Next равен NULL (в п. 4 установлено окончание списка) и новым последним становится t

end = t;

Общая схема вставки элемента:

Алгоритм освобождения памяти, занятой списком, аналогичен рас-

смотренному алгоритму для стека (см. разд. 15.2).

15.5.Нелинейные структуры данных

Впредыдущих разделах мы рассмотрели линейные структуры динамических списковых данных.

141

Введение в динамическую переменную двух и более полей-указателей позволяет получить нелинейные структуры данных. Наиболее распространенными являются структуры с иерархическим представлением, которые хорошо изображаются следующим образом:

Корень дерева

Узлы

x

Y

Листья

Такая конструкция данных получила название «дерево».

Дерево состоит из элементов, называемых узлами (вершинами). Узлы соединены между собой направленными дугами. В случае X Y вершина X

называется родителем, а Y – сыном (дочерью).

Дерево имеет единственный узел, не имеющий родителей (ссылок на этот узел), который называется корнем. Любой другой узел имеет ровно одного родителя, т.е. на каждый узел дерева имеется ровно одна ссылка.

Узел, не имеющий сыновей, называется листом.

Внутренний узел – это узел, не являющийся ни листом, ни корнем. Порядок узла равен количеству его узлов-сыновей. Степень дерева – максимальный порядок его узлов. Высота (глубина) узла равна числу его родителей плюс один. Высота дерева – это наибольшая высота его узлов.

15.5.1. Бинарные деревья

Бинарное дерево – это динамическая структура данных, в которой каждый узел-родитель содержит, кроме данных, не более двух сыновей (левый и правый).

На рисунке приведен пример бинарного дерева (корень обычно изображается сверху, хотя изображение можно и перевернуть).

Корень дерева

Root

Такая структура данных организуется следующим образом (N – NULL):

142

Высота дерева, как и раньше, определяется количеством уровней, на которых располагаются его узлы.

Если дерево организовано таким образом, что для каждого узла все ключи его левого поддерева меньше ключа этого узла, а все ключи его правого поддерева – больше, оно называется деревом поиска. Одинаковые ключи здесь не допускаются.

Представление динамических данных в виде древовидных структур оказывается довольно удобным и эффективным для решения задач быстрого поиска информации.

Сбалансированными, или AVL-деревьями, называются деревья, для каждого узла которых высóты его поддеревьев различаются не более чем на 1. Причем этот критерий обычно называют AVL-сбалансированностью в отличие от идеальной сбалансированности, когда для каждого узла дерева количество узлов в его левом и правом поддеревьях различаются не более чем на единицу [44].

Дерево по своей организации является рекурсивной структурой данных, поскольку каждое его поддерево также является деревом. В связи с этим действия с такими структурами чаще всего описываются с помощью рекурсивных алгоритмов.

15.5.2. Основные алгоритмы работы с бинарным деревом

В общем случае при работе с такими структурами необходимо уметь:

–построить (создать) дерево;

–вставить новый элемент;

–обойти все элементы дерева, например, для просмотра или выполнения некоторой операции;

–выполнить поиск элемента с указанным значением в узле;

–удалить заданный элемент.

Обычно бинарное дерево строится сразу упорядоченным, т.е. узел левого сына имеет значение меньшее, чем значение родителя, а узел правого сына – большее.

143

15.5.3. Формирование дерева

Например, имеется последовательность ключей 17, 18, 6, 5, 9, 23, 12, 7, 8, тогда построенное по ним дерево будет выглядеть следующим образом:

17

2: 6<17 1: 18>17

8: 8<17, 8>6, 8<9, 8>7

8

15.5.4. Вставка нового элемента

Для того чтобы вставить новый элемент в дерево, необходимо найти для него место. Для этого, начиная с корня, сравниваем значения узлов (Tree->info) со значением нового элемента (b). Если b < info, то идем по левой ветви, в противном случае – по правой ветви. Когда дойдем до узла, из которого не выходит нужная ветвь для дальнейшего поиска, это означает, что место под новый элемент найдено.

Путь поиска места в построенном дереве для числа 11:

Функция создания дерева, ключами которого являются целые положительные числа, может иметь следующий вид:

}

//================ Добавление элементов =================

return Root;

}

Функция List предназначена для создания нового элемента – листа:

Tree* List(int i) {

Tree *t = (Tree*) malloc (sizeof(Tree)); t -> info = i;

t -> Left = t -> Right = NULL; return t;

}

Участок кода с обращением к функции Create будет иметь следующий вид:

struct Tree { // Декларация шаблона int info;

Tree *Left, *Right; };

145

15.5.5. Удаление узла

При удалении узла из дерева возможны три ситуации в зависимости от того, сколько сыновей (потомков) имеет удаляемый узел.

1. Удаляемый узел является листом – просто удаляем ссылку на него. Приведем пример схемы удаления листа с ключом key:

2. Удаляемый узел имеет только одного потомка, т.е. из удаляемого узла выходит ровно одна ветвь. Пример схемы удаления узла key, имеющего одного сына:

7NULL

3.Удаление узла, имеющего двух сыновей, значительно сложнее рассмотренных выше. Если key – удаляемый узел, то его следует заменить узлом w, который содержит либо наибольший ключ (самый правый, у которого указатель Right равен NULL) в левом поддереве, либо наименьший ключ (самый левый, у которого указатель Left равен NULL) в правом поддереве.

Используя первое условие, находим узел w, который является самым правым узлом поддерева key, у него имеется только левый сын:

146

В построенном ранее дереве удалим узел key (6). Используем второе условие, т.е. ищем самый левый узел в правом поддереве – это узел w (указатель Left равен NULL):

Функция удаления узла по заданному ключу key может иметь вид

Tree* Del(Tree *Root, int key) {

Tree *Del, *Prev_Del, *R, *Prev_R;

//Del, Prev_Del – удаляемый элемент и его предыдущий (родитель);

//R, Prev_R – элемент, на который заменяется удаленный, и его родитель;

Del = Root; Prev_Del = NULL;

//===== Поиск удаляемого элемента и его родителя по ключу key =====

while (Del != NULL && Del -> info != key) { Prev_Del = Del;

if (Del->info > key) Del = Del->Left; else Del = Del->Right;

}

if (Del == NULL) { // Элемент не найден puts("\n NO Key!");

return Root;

}

//============ Поиск элемента R для замены =================

if (Del -> Right == NULL) R = Del->Left; else

if (Del -> Left == NULL) R = Del->Right; else {

//Ищем самый правый узел в левом поддереве

Prev_R = Del;

R = Del->Left;

while (R->Right != NULL) { Prev_R = R;

R = R->Right;

}

// Нашли элемент для замены R и его родителя Prev_R

147

return Root;

}

Участок программы с обращением к данной функции будет иметь вид

printf("\n Input Del Info : "); scanf(“%d”, &key);

Root = Del(Root, key);

15.5.6. Алгоритмы обхода дерева

Существуют три алгоритма обхода деревьев, которые естественно следуют из самой структуры дерева.

1.Обход слева направо: Left-Root-Right (сначала посещаем левое поддерево, затем – корень и, наконец, правое поддерево).

2.Обход сверху вниз: Root-Left-Right (посещаем корень до поддеревьев).

3.Обход снизу вверх: Left-Right-Root (посещаем корень после поддеревьев).

Интересно проследить результаты этих трех обходов на примере записи формулы в виде дерева, так как они и позволяют получить различные формы записи арифметических выражений.

Пусть для операндов А и В выполняется операция сложения. Привычная форма записи в виде А+В называется инфиксной. Форма записи, в которой знак операции следует перед операндами +АВ, называется префиксной, если же операция записывается после операндов АВ+ – постфиксной.

Рассмотрим небольшой пример, пусть задано выражение А+В*С. Так как умножение имеет более высокий приоритет, то данное выражение можно переписать в виде А+(В*С). Для записи выражения в постфиксной форме сначала преобразуем ту часть выражения, которая вычисляется первой, в результате получим: А+(ВС*).

148

Теперь запишем в постфиксной форме операцию сложения между операндами А и (ВС*): АВС*+.

Таким образом, выражение А+В*С в постфиксном виде АВС*+, префиксная форма записи будет иметь вид +*АВС.

Рассмотрим различные обходы дерева на примере формулы: ((a+b/c)*(d–e*f )). Дерево формируется по принципу:

–в корне размещаем операцию, которая выполнится последней;

–далее узлы-операции, операнды – листья дерева.

Обход 1 (Left-Root-Right) дает обычную инфиксную запись выражения (без скобок):

a + b / c * d – e * f .

*

Обход 2 (Root-Left-Right) – префиксную запись выражения (без скобок):

* + a / b c – d * e f .

*

Обход 3 (Left-Right-Root) – постфиксную запись выражения: a b c / + d e f * – * .

*

149

15.5.7. Функция просмотра

Приведем простой пример функции вывода элементов (ключей) дерева, использующий правила обхода 2.

Обращение к функции View будет иметь вид View(Root, 0);

Функция View рекурсивная, вторым ее параметром является переменная, определяющая, на каком уровне (level) находится узел. Корень находится на уровне «0». Значения узлов выводятся по горизонтали так, что корень находится слева. Перед значением узла для имитации структуры дерева выводится количество пробелов, пропорциональное уровню узла. Если закомментировать цикл печати пробелов, значения ключей будут выведены просто в столбик.

Для последовательно введенных ключей 10 (корень), 25, 20, 6, 21, 8, 1, 30, будет построено дерево, вывод которого на экран с помощью функции View будет иметь следующий вид:

15.5.8. Освобождение памяти

Функция освобождения памяти, занятой элементами дерева, может быть реализована аналогично рекурсивной функции View

void Del_All(Tree *t) { if ( t != NULL) {

Del_All ( t -> Left);

Del_All ( t -> Right); free(t);

}

}

150