Исследование СМО с помощью ДИП

Замкнутые системы массового обслуживания (СМО с ожиданием ответа)

До сих пор мы рассматривали СМО, где заявки приходили откуда-то извне и интенсивность потока заявок не зависела от состояния самой системы.

Сейчас мы рассмотрим СМО, в которых интенсивность потока поступающих заявок зависит от состояния самой системы, - замкнутые СМО.

Пример. Система с центральным процессором и удаленными терминалами.

Пользователь, отправивший запрос с терминала не может выдать новый запрос, пока не получит сообщения от процессораоб окончании обработки предыдущего.

Характерным для замкнутой системы массового обслуживания является наличие ограниченного числа источников заявок.

В сущности, любая СМО имеет дело только с ограниченным числом источников заявок, но в ряде случаев число этих источников так велико, что можно пренебречь влиянием состояния самой СМО на поток заявок. В замкнутой же СМО источники заявок, наряду с каналами обслуживания, рассматриваются как элементы СМО.

Построим аналитическую модель такой системы.

Одноканальная СМО (с одним обслуживающим прибором) и количеством источников m.

Состояния будем кодировать числом выданных заявок.

ДИП для одноканальной замкнутой СМО

Воспользовавшись правилом равенства встречных потоков вероятностей через сечение диаграммы и исходя из уравнения нормировки, получим выражение для р

Характеристики эффективности замкнутой СМО:

– абсолютная пропускная способность

канал занят обслуживанием заявок с вероятностью (1-р), если он занят, то обслуживает в среднем μ заявок в единицу времени

– относительная пропускная способность

так как каждая заявка, в конце концов, будет обслужена

— среднее число заявок в СМО

по сути среднее число источников, выдавших заявку и ожидающих ответа

—среднее число занятых каналов

—среднее число заявок в очереди где

Пример. Рабочий обслуживает группу из трех станков. Каждый станок останавливается в среднем 2 раза в час. Процесс наладки занимает у рабочего, в среднем, 10 минут. Все потоки полагаем простейшими.

Определить характеристики замкнутой СМО: вероятность занятости рабочего; его абсолютную пропускную способность А; среднее количество неисправных станков Lc.

Решение.

1) Группа станков – замкнутая СМО одним каналом обслуживания (один рабочий); количество источников заявок m=3 (три станка); входной поток имеет интенсивность λ = 2 (останавок станоков в среднем в час).

Имеем n = 3, λ = 2, μ= 1/ (1/6)= 6, ω= λ/μ = 1/3.

2) Определяем по формулам для одноканальной замкнутой СМО p 0,346

Характеристики эффективности замкнутой СМО:

— среднее число занятых каналов

– абсолютная пропускная способность

Распределение Эрланга. Метод этапов

На практике марковские процессы в чистом виде почти никогда не встречаются: реальные процессы почти всегда обладают тем или другим последействием.

Для марковского процесса время пребывания системы подряд в какомлибо состоянии распределено по показательному.

Если поток событий, переводящий систему из состояния в состояние является потоком отказов какого-то узла, то более естественно предположить, что оставшееся время безотказной работы узла зависит от того, сколько времени узел уже работал. При этом время пребывания узла в рабочем состоянии представляет собой случайную величину, распределенную не по показательному, а по какому-то иному закону.

Возникает вопрос: можно ли приближенно заменять непуассоновские потоки — пуассоновскими и к каким ошибкам в предельных вероятностях состояний может привести подобная замена.

Рассмотрим некоторую физическую систему, в которой протекает случайный процесс, направляемый какими-то непуассоновскими потоками событий.

Для марковской системы мы вычисляли вероятность того, что в момент t + Δt система будет в состоянии Si учитывая только то, в каком состоянии система была в момент t, и не учитывая, сколько времени она была в этом состоянии. Для немарковской системы вычисляя вероятность перехода из одного состояния в другое за время Δt, мы должны будем учитывать, сколько времени система уже провела в данном состоянии. Это приводит, вместо обыкновенных дифференциальных, уравнений, к уравнениям с частными производными.

Однако, в некоторых случаях можно немарковский процесс свести искусственно (хотя бы приближенно) к марковскому – если число состояний системы не очень велико, а отличающиеся от простейших потоки событий, участвующие в задаче, представляют собой (точно или приближенно) потоки Эрланга. Тогда, вводя в схему возможных состояний системы некоторые фиктивные «псевдосостояния» (этапы), удается свести немарковский процесс к марковскому и описать его с помощью алгебраических уравнений для предельных вероятностей состояний.

Для начала выясним, что представляет собой поток Эрланга.

Поток Эрланга

Рассмотрим простейший поток с интенсивностью λ. Просеим этот поток, оставив в нем каждое k-е событие и удалив все остальные. В результате образуется новый поток событий, который называется потоком Эрланга k-го порядка.

Интервалы времени между событиями распределены по закону Эрланга k-го порядка:

Математическое ожидание, дисперсия и СКО в потоке Эрланга k-го порядка:

Заметим, что как закон распределения fk(t), так и все его характеристики выражены

Таким образом мы приходим к так называемому нормированому потоку Эрланга. Видно, что при k→∞ и дисперсия и СКО стремятся к 0. Следовательно, поток Эрланга

неограниченно приближается к регулярному потоку с постоянным интервалом между событиями:

Это свойство потоков Эрланга удобно в практических целях: оно дает возможность, задаваясь различными k, получать потоки, обладающие различным последействием − от полного отсутствия последействия (при k=1 поток Эрланга превращается в простейший поток) до жесткой функциональной связи между моментами появления событий (k = ∞).

Используя это обстоятельство, можно аппроксимировать полученные эмпирическим путём распределения распределениями Эрланга. Это делают, согласовывая характеристики реального потока (математическое ожидание и дисперсию интервала времени между событиями) с теми же характеристиками заменяющего потока Эрланга.