3

Формула Остроградского – Гаусса:

где – дивергенция векторного поля.

Если переменные x, y, z в тройном интеграле заменяют цилиндрическими координатами

то используют формулу

где T* – область в цилиндрической системе координат, соответствующая области T в декартовой системе координат.

Циркуляцией векторного поля вдоль замкнутого контура L называется криволинейный интеграл

где – единичный вектор, направленный по касательной к кривой L в направлении ее обхода.

Положительным направлением обхода замкнутого контура называется направление, при котором линия интегрирования обходится против хода часовой стрелки, а отрицательным – по ходу часовой стрелки.

Если кривая L задана параметрически в пространстве уравнениями где то

Задания 181 – 190. Числовым рядом называется выражение вида

где

Сумма

называется n-й частичной суммой.

Если существует предел

то ряд называется сходящимся, а S – его суммой; пишут:

Если не существует, то ряд называется расходящимся.

Необходимый признак сходимости. Если ряд сходится, то

Следствие необходимого признака сходимости. Если то ряд расходится.

Признак сравнения. Пусть для знакоположительных рядов и начиная с некоторого n выполняется неравенство

Тогда:

а) из сходимости ряда следует сходимость ряда

б) из расходимости ряда следует расходимость ряда

Предельный признак сравнения. Если для знакоположительных рядов и существует

то оба эти ряда сходятся или оба расходятся.

Для исследования по признаку сравнения или предельному признаку сравнения часто используют следующие ряды:

а) ряд сходящийся при и расходящийся при

б) ряд Дирихле сходящийся при и расходящийся при

Предельный признак Д’Аламбера. Пусть для знакоположительного ряда существует

Тогда:

а) при ряд сходится;

б) при ряд расходится.

Предельный признак Коши. Пусть для знакоположительного ряда существует

Тогда:

а) при ряд сходится;

б) при ряд расходится.

Если в предельных признаках Д’Аламбера и Коши получаем то нужны дополнительные исследования по другим признакам.

При использовании предельного признака Коши часто применяют формулу

Иинтегральный критерий сходимости. Пусть члены ряда имеют вид где – неотрицательная монотонно убывающая на функция. Ряд сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходится (расходится) несобственный интеграл

Задания 191 – 200. Знакопеременный числовой ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

Абсолютно сходящийся ряд сходится.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится, но не абсолютно.

Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если любые два его соседних члена имеют разные знаки:

где

Признак Лейбница. Если для знакочередующегося ряда выполняются условия:

1) 

2) 

то ряд сходится.

Следствие признака Лейбница. Если – n-я частичная сумма знакочередующегося ряда то

Степенным рядом называется ряд вида

где

Радиусом сходимости степенного ряда называется число r, которое находят по формулам:

или

Ряд сходится, причем абсолютно, на интервале сходимости где и расходится на

Для определения области сходимости степенного ряда следует:

1) найти его радиус сходимости;

2) определить интервал сходимости с центром в точке a;

3) выяснить вопрос о сходимости ряда в граничных точках этого интервала, подставив их вместо x в заданный ряд.

Задания 201 – 210. Степенной ряд вида

называется рядом Тейлора функции

Рядом Маклорена функции называется ряд Тейлора вида

Имеют место разложения элементарных функций в ряд Маклорена:

Задания 211 – 220. Рядом Фурье -периодической функции называется функциональный ряд вида

где коэффициенты вычисляют по формулам:

Теорема Дирихле. Пусть -периодическая функция является кусочно-гладкой на Тогда ее ряд Фурье сходится к в каждой точке непрерывности и к в точке разрыва, где и – соответственно левосторонний и правосторонний пределы функции в точке x.

Задания 221 – 230. Рядом Лорана функции называется ряд вида

где

Ряд называемый правильной частью ряда Лорана, сходится в круге Ряд называемый главной частью ряда Лорана, сходится вне круга

Функция аналитическая в кольце разлагается в этом кольце в абсолютно сходящийся ряд Лорана

Имеет место разложение:

Задания 231 – 240. Функция называется аналитической в точке, если существует некоторая окрестность этой точки, в которой функция однозначна и дифференцируема. Функция называется аналитической в области D, если она аналитическая в каждой точке этой области.

Изолированной особой точкой функции называется точка, в некоторой проколотой окрестности которой функция аналитична, но не аналитична в самой этой точке (или не определена в ней).

Изолированная особая точка a функции называется устранимой, если ряд Лорана функции имеет вид

Тогда

Изолированная особая точка a функции называется полюсом k-го порядка, если

где Тогда

При полюс называют простым полюсом.

Изолированная особая точка a функции называется существенно особой, если

и бесконечное количество элементов отлично от нуля. Тогда не существует.

Вычетом функции в особой точке a называется коэффициент при первой отрицательной степени ряда Лорана функции в проколотой окрестности точки a. Пишут:

Если a – простой полюс, то

Если a – полюс k-го порядка, то

Основная теорема о вычетах. Если функция – аналитическая в односвязной области D, кроме конечного числа особых точек, Γ – замкнутая положительно ориентированная кривая, расположенная в D и содержащая внутри себя особые точки то

Задания 241 – 250. Свойство линейности. Если то

Теорема подобия. Если то

Теорема смещения. Если то

Таблица основных операционных соотношений.

	при		при
	1