9. Закон распределения случайной величины. Проверка гипотез о законах распределения случайных величин.

Выдвигают нулевую гипотезу Н₀: неизвестная функция распределения F(x) исследуемой случайной величины X распределена по некоторому теоретическому закону, например, по нормальному закону: H₀: F(x)=F_теор(х).

В качестве этой теоретической модели F_теор(х) может быть рассмотрен любой закон, например, экспоненциальный или биномиальное распределение. Это определяется сущностью изучаемого явления, а также результатами предварительной обработки наблюдений: формой графика распределения, соотношения между выборочными данными.

Выдвигается альтернативная гипотеза, что данная генеральная совокупность не распределена по закону F_теор(х):

Н₁: F(x)F_теор(х).

Задается уровень значимости, например, α≤0,05.

Если хотим проверить, согласуются эмпирические данные с нашим гипотетическим предложением относительно теоретической функции распределения или нет, то используем критерий согласия.

Критерий согласия – это критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Рассмотрим один из них, использующий Х² распределение и получивший название критерий согласия Пирсона. Этот критерий не требует никаких пердположений о параметрах совокупности, из которых извлечена выборка. Это непараметрический критерий.

Применим критерий Х² (хи-квадрат) к проверке нулевой гипотезы Н₀, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону.

Критерий предполагает, что результаты наблюдений группированы в вариационный ряд и разбиты на классы.

По выборке объема n построим эмпирическое распределение F_эмп(х):

варианты х₁, х₂, …, х_n

эмпирические частоты n₁, n₂, …, n_n

и сравним его с предполагаемым теоретическим распределением, вычисленным в предположении нормального закона распределения.

Теоретические частоты: n₁^’, n₂^’, …, n_n^’/

То есть фактически Н₀: n_эмп=n_теор^’.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину:

,

где k – число классов.

Из таблиц находим Х_крит²(α≤0,05, f=k-3).

Сравниваем, если Х_набл²<Х_крит²(α, f) => Н₀ – данное распределение подчиняется нормальному закону.

Если наоборот, то не подчиняется нормальному закону.

10. Функциональная и корреляционная зависимости. Коэффициент линейной корреляции и его свойства.

Функциональная зависимость – это зависимость вида y=f(x), когда каждому возможному значению случайной величины Х соответствует одно возможное значение случайной величины Y.

Корреляционная зависимость – это статистическая зависимость, проявляющаяся в том, что при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой:

=f(x).

Для изучения корреляционной связи данные о статистической зависимости удобно задавать в виде корреляционной таблицы или в виде двумерной выборки.

Xi	x1	x2	…	xn
Yi	y1	y2	…	yn

Схема эксперимента следующая: пусть имеется выборка объема n из генеральной совокупности N. На каждом объекте выборки определяют числовые значения признаков, между которыми требуется установить наличие или отсутствие связи. Таким образом, получаем 2 ряда числовых значений.

Для наглядности полученного материала каждую пару можно представить в виде точки на координатной плоскости. По оси абсцисс откладывают значения одного вариационного ряда – x_i, а по оси ординат – другого – y_i.

Такое изображение статистической зависимости называется полем корреляции, или корреляционным полем точек. Оно создает общую картину корреляции.

А) точки сгруппированы вдоль некоторого направления, это говорит о наличии линейной корреляционной связи между признаками.

Б) точки распределены неравномерно , это говорит о том, что линейная корреляция отсутствует

На практике исследователя часто может интересовать не сама зависимость одной переменной от другой, а именно характеристика тесноты связи между ними, которую можно было бы выразить одним числом. Эта характеристика называется выборочным коэффициентом линейной корреляции r.

Требования к корреляционному анализу: корреляционный анализ – это метод, используемый, когда данные можно считать случайными и выбранными из совокупностей, распределенных по нормальному закону.

Выборочный коэффициент линейной корреляции r характеризует тесноту линейной связи между количественными признаками в выборке:

Если r>0, то корреляционная связь между переменными прямая, при r<0 – связь обратная.

СВОЙСТВА КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ r:

Они проявляются при достаточно большом объеме выборки n.

1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке -1≤r≤1. В завасимости от того, насколько |r| приближается в 1, различают связи:

r<0.3 – слабая связь

r=0,3 – 0,5 – умеренная связь

r=0,5 – 0,7 – заметная(значительная)

r=0,7 – 0,8 – достаточно тесная

r=0,8 – 0,9 – тесная(сильная)

r> 0,9 – очень сильная

2. При r=1 – функциональная зависимость y=f(x)

3. Чем ближе |r| к 0, тем слабее связь

4. При r=0 линейная корреляционная связь отсутствует.

5. r_xy=r_yx – случайные переменные симметричные

x и y могут взаимозаменяться, не влияя на величину r.

6. Если все значения переменных увеличить (уменьшить) на одно и то же число или в одно и то же число раз, то величина коэффициента корреляции не изменится

7. Коэффициент корреляции величина безразмерная.