- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИКИ
- •1.1. Прямоугольная декартова система координат
- •1.2. Понятие об абсолютно твердом теле и его степенях свободы
- •1.3. Элементы тригонометрии
- •1.4. Векторы
- •1.5. Инерциальная система отсчета
- •2. СТАТИКА
- •2. 1. Аксиомы статики
- •2.2. Теорема о переносе вектора силы вдоль линии действия
- •3. СИСТЕМА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
- •3.1. Приведение к равнодействующей системы параллельных сил, направленных в одну сторону
- •3.2. Приведение к равнодействующей двух сил, направленных в разные стороны
- •3.3. Пара сил
- •3.4. Правило рычага. Момент силы относительно точки
- •3.5. Распределенные силы
- •4. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА И ОСИ
- •4.1. Момент силы
- •4.2. Приведение силы к заданному центру
- •4.3. Условия равновесия произвольной пространственной системы сил
- •4.4. Условия равновесия произвольной плоской системы сил
- •4.5. Вычисление реакций опор конструкций арочного типа
- •5. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
- •5.1. Центр параллельных сил
- •5.2. Центр тяжести твердого тела
- •5.3. Центр тяжести плоского сечения
- •5.4. Центры тяжести простейших тел
- •5.5. Методы вычисления центров тяжести тел
- •6. СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ
- •6.1. Приведение к равнодействующей силе
- •6.2. Условия равновесия системы сходящихся сил
- •6.3. Равновесие твердого тела под действием трех сил
- •7. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
- •7.1. Траектория, скорость, ускорение
- •7.2. Движение точки в плоскости
- •7.3. Простейшие движения твердого тела
- •8. ДИНАМИКА
- •8.1. Основные законы движения материальной точки
- •8.2. Две основные задачи динамики точки
- •8.3. Теорема об изменении кинетической энергии
- •8.4. Принцип возможных перемещений
- •8.5. Принцип Д’Аламбера. Силы инерции
- •9. ДЕФОРМИРУЕМОЕ ТВЕРДОЕ ТЕЛО
- •9.1. Общие сведения
- •9.2. Классификация нагрузок
- •9.3. Метод сечений. Виды сопротивлений бруса. Построение эпюр
- •10. ПОНЯТИЕ О НАПРЯЖЕНИИ И ДЕФОРМАЦИИ
- •10.1. Напряженное состояние в точке
- •10.2. Интегральные зависимости между внутренними силовыми факторами и напряжениями
- •10.3. Деформации и перемещения. Деформированное состояние в точке
- •11. ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ В ПРЕДЕЛАХ УПРУГОСТИ
- •11.1. Основные понятия и зависимости. Условия прочности
- •11.2. Перемещения. Эпюра перемещений. Условие жесткости
- •11.3. Расчеты на прочность и жесткость
- •12. ПЛОСКИЕ СТЕРЖНЕВЫЕ ФЕРМЫ
- •12.1. Общая характеристика и классификация ферм
- •12.2. Методы расчета плоских ферм
- •13. ИЗГИБ БРУСА
- •13.1. Поперечный изгиб
- •13.2. Расчеты на прочность при изгибе
- •13.3. Перемещения при изгибе
- •13.4. Расчет балок на жесткость
- •14. ВНЕЦЕНТРЕННОЕ СЖАТИЕ ИЛИ РАСТЯЖЕНИЕ
- •14.1. Определения. Условия прочности
- •14.2. Ядро сечения
- •15. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
- •15.1. Понятие об устойчивости
- •15.2. Продольный изгиб. Потеря устойчивости
- •15.3. Формула Эйлера для вычисления критической силы шарнирно закрепленного стержня
- •15.5. Критическое напряжение. Гибкость стержня
- •15.6. Продольный изгиб за пределом пропорциональности. Формула Ясинского
- •15.7. Диаграмма критических напряжений
- •15.8. Принципы рационального проектирования сжатых стержней
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
И. В. Богомаз. Механика
1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИКИ
1.1. Прямоугольная декартова система координат
Рене Декарт
(René Descartes) (1596–1650)
Наиболее элементарными измерениями в механике, кроме простого счета, являются измерения расстояний. Расстояние вдоль заданной прямой АВ аддитивно, т. е. его можно представить в виде алгебраической суммы двух расстояний АC + CВ = АВ, где точка С лежит между точками А и В (рис. 1.1, а). Но если два расстояния взяты не на одной прямой, то их сумма не может быть определена однозначно без дополнительных условий. Если А, Q, В – три точки, то расстояние AB определяется не только расстояниями AQ и QB, т. е.
AB ≠ AQ +QB (рис. 1.1, б).
Рене Декарт предложил задавать положение |
точекотрезка |
||
с помощью системы параллельных отрезков |
′ |
′ |
, перпенди- |
AA и BB |
кулярных к исходной прямой (рис. 1.1, в). В дальнейшем была введена вторая ось, перпендикулярная первой. Система двух ортогональных осей получила название декартовой системой координат
(рис. 1.1, г).
а б
в г
Рис. 1.1
38
1. Основные определения из математики
Декартова плоская система координат задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми – осями координат, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан отрезок единичной длины. Точка пересечения осей координат О называется началом координат. Одна из осей координат Ох называется осью абсцисс, другая Оу – осью ординат.
Расстояние между точками PD определяется по теореме Пифа-
гора:
AB = (xB − xA )2 +(yB − yA )2 .
Декартова система координат в трехмерном пространстве задается аналогично случаю плоскости: осью абсцисс Ox, осью ординат Oy, осью аппликат Oz и началом координат О (рис. 1.2). Возможны две прямоугольные декартовы системы координат, которые никакими движениями в пространстве не могут быть совмещены друг с другом. Одна из них – правая, другая – левая. Наиболее употребляемой системой координат является правая (рис. 1.2, а). Систему координат свяжем с поверхностью земли. Пусть наблюдатель стоит на земле лицом на север, правая его рука направлена на восход солнца, т. е. на восток. Совместим с наблюдателем систему трех ортогональных осей Oxyz с поверхностью земли, при этом ось Oy направим на север, ось Ox будет указывать вместе с правой рукой на восток, ось Oz направим вертикально вверх на звезды (рис. 1.2, а).
Такая система называется правой декартовой системой координат. В правой системе координат поворот оси Оx в плоскости Оxy и в плоскости Оxz против часовой стрелки считается положительным, по часовой стрелке – отрицательным.
Рис. 1.2
39
И. В. Богомаз. Механика
Рис. 1.3
Положение геометрической точки А в декартовой системе координат определено тремя независимыми координатами: xA, yA, zA, (рис. 1.2, б).
Плоская декартова система координат показана на рис. 1.3. Положение геометрической точки А в плоской системе координат определено двумя независимыми координатами xA, yA.
1.2. Понятие об абсолютно твердом теле и его степенях свободы
Важным понятием в механике является число параметров, полностью определяющих положение всех точек рассматриваемой системы в пространстве или плоскости, в частности твердого тела. Эти параметры носят название степеней свободы.
Свободным называется тело, на перемещения точек которого не наложено никаких ограничений. Вычислим количество степеней свободы твердого тела в плоскости и пространстве.
Число независимых параметров, определяющих перемещение тела (точек тела) на плоскости или в пространстве, называется числом его степеней свободы.
Плоскость. Положение точки на плоскости в системе координат Oxy определяется двумя независимыми параметрами (координатами) xA, yA, (рис. 1.4, а), т. е. точка может независимо перемещаться в двух ортогональных направлениях Ox и Oy, следовательно, точка имеет две степени свободы.
40
1. Основные определения из математики
а |
б |
Рис. 1.4
Положение твердого тела характеризовать двумя параметрами не получится, необходимо зафиксировать еще одну точку, тогда положение твердого тела на плоскости будет определено четырьмя параметрами – координатами двух точек – A(xA, yA) и B(xB, yB) (рис.1.4, б).
Предположим, что при движении или взаимодействии с другими телами твердое тело не меняет своей геометрической формы, тогда расстояние между точками А и В будет оставаться неизменным:
(xB − xA )2 +(yB − yA )2 = const.
Такие твердые тела называют абсолютно твердыми телами. В теоретической механике реальные тела моделируются абсолютно твердыми телами.
Абсолютно твердым телом (или неизменяемой механической системой) называют твердое тело, расстояние между любыми точками которого не меняется при его движении и взаимодействии с другими телами.
Тогда четыре координаты xA, yA, xB, yB, определяющие положение абсолютно твердого тела, связаны между собой теоремой Пифагора:
(xB − xA )2 +(yB − yA )2 = (AB)2 . |
(1.1) |
Это уравнение принято называть уравнением связи. Тогда из четырех координат xA, yA, xB, yB независимые только три: 4 координаты – 1 уравнение связи → 3 независимых координаты.
41
И. В. Богомаз. Механика
Поэтому движение абсолютно твердого тела в плоскости должно описываться тремя независимыми параметрами. За независимые параметры выбирают координаты любой точки А – xA, yA (часто центра тяжести тела) и угол φ, который образует жестко связанная с телом прямая АВ и положительным направлением оси Ox (рис. 1.4, б). Итак, положение абсолютно твердого тела в плоскости будет определяться тремя независимыми параметрами – xA, yA, φ и, следовательно, твердое тело при движении в плоскости будет иметь три степени свободы: тело может перемещаться вдоль каждой из осей и вращаться вокруг точки А. Точку А называют полюсом.
Число независимых перемещений тела определяет число его степеней свободы.
Абсолютно твердое тело в плоскости имеет три степени свободы. Теоретическая механика изучает возможные состояния материальных точек, абсолютно твердых тел и механических систем, со-
стоящих из твердых тел.
Материальной точкой называют абсолютно твердое тело, при изучении движения которого изменяются координаты полюса, а угол ϕ, который образует жестко связанная с телом прямая, проходящая через полюс с положительным направлением оси Ox, остается постоянным.
Механической системой, или просто системой, называется выделенная каким-либо образом совокупность материальных точек или твердых тел.
Пространство. Одна свободная точка в пространстве имеет три степени свободы. Рассмотрим свободное абсолютно твердое тело в пространстве (рис. 1.5). Положение твердого тела характеризовать двумя точками А и В в пространстве не получится, потому что тело может вращаться вокруг прямой АВ, при этом координаты точек А и В меняться не будут. Необходимо зафиксировать еще одну точку, тогда положение тела в пространстве будет определяется заданием координат трех его точек, не лежащих на одной прямой: A(xA, yA, zA), B(xB, yB, zB), C(xC, yC, zC). Положение тела в пространстве в декартовой системе координат будет характеризуется девятью параметрами. Поскольку взаимное расположение точек А, В и С абсолютно твердого тела сохраняется (рис. 1.5), девять координат связаны между собой тремя уравнениями связи:
42
1. Основные определения из математики
Рис. 1. 5
расстояние АВ
(xA − xB )2 +(yA − yB )2 +(zA − zB )2 = L12 ;
расстояние АС
(x |
A |
− x |
)2 + (y |
A |
− y |
)2 + (z |
A |
− z |
)2 = L2 |
; |
(1.2) |
|
C |
|
C |
|
C |
2 |
|
|
расстояние ВС
(xB − xC )2 +(yB − yC )2 +(zB − zC )2 = L23.
На девять координат наложено три уравнения связи, следовательно, независимых координат остается только шесть, т. е. абсолютно твердое тело в пространстве имеет шесть степеней свободы: тело может независимо перемещаться вдоль каждой из осей и вращаться вокруг каждой оси. За независимые параметры выбирают координаты полюса А – xA, yA, zA и углы поворота плоскости АВС вокруг каждой из осей, т. е. точка может независимо перемещаться в трех ортогональных направлениях Ox, Oy, Oz. Если при движении или взаимодействии с другими телами твердое тело меняет свою геометрическую форму (деформируется), тогда расстояние между двумя точками не будет оставаться неизменным, т. е. координаты точек A, B, C не связаны между собой. В этом случае будем говорить о деформируемом твердом теле.
43