- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •ВВЕДЕНИЕ
- •1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИКИ
- •1.1. Прямоугольная декартова система координат
- •1.2. Понятие об абсолютно твердом теле и его степенях свободы
- •1.3. Элементы тригонометрии
- •1.4. Векторы
- •1.5. Инерциальная система отсчета
- •2. СТАТИКА
- •2. 1. Аксиомы статики
- •2.2. Теорема о переносе вектора силы вдоль линии действия
- •3. СИСТЕМА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
- •3.1. Приведение к равнодействующей системы параллельных сил, направленных в одну сторону
- •3.2. Приведение к равнодействующей двух сил, направленных в разные стороны
- •3.3. Пара сил
- •3.4. Правило рычага. Момент силы относительно точки
- •3.5. Распределенные силы
- •4. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА И ОСИ
- •4.1. Момент силы
- •4.2. Приведение силы к заданному центру
- •4.3. Условия равновесия произвольной пространственной системы сил
- •4.4. Условия равновесия произвольной плоской системы сил
- •4.5. Вычисление реакций опор конструкций арочного типа
- •5. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
- •5.1. Центр параллельных сил
- •5.2. Центр тяжести твердого тела
- •5.3. Центр тяжести плоского сечения
- •5.4. Центры тяжести простейших тел
- •5.5. Методы вычисления центров тяжести тел
- •6. СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ
- •6.1. Приведение к равнодействующей силе
- •6.2. Условия равновесия системы сходящихся сил
- •6.3. Равновесие твердого тела под действием трех сил
- •7. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
- •7.1. Траектория, скорость, ускорение
- •7.2. Движение точки в плоскости
- •7.3. Простейшие движения твердого тела
- •8. ДИНАМИКА
- •8.1. Основные законы движения материальной точки
- •8.2. Две основные задачи динамики точки
- •8.3. Теорема об изменении кинетической энергии
- •8.4. Принцип возможных перемещений
- •8.5. Принцип Д’Аламбера. Силы инерции
- •9. ДЕФОРМИРУЕМОЕ ТВЕРДОЕ ТЕЛО
- •9.1. Общие сведения
- •9.2. Классификация нагрузок
- •9.3. Метод сечений. Виды сопротивлений бруса. Построение эпюр
- •10. ПОНЯТИЕ О НАПРЯЖЕНИИ И ДЕФОРМАЦИИ
- •10.1. Напряженное состояние в точке
- •10.2. Интегральные зависимости между внутренними силовыми факторами и напряжениями
- •10.3. Деформации и перемещения. Деформированное состояние в точке
- •11. ОСЕВОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ В ПРЕДЕЛАХ УПРУГОСТИ
- •11.1. Основные понятия и зависимости. Условия прочности
- •11.2. Перемещения. Эпюра перемещений. Условие жесткости
- •11.3. Расчеты на прочность и жесткость
- •12. ПЛОСКИЕ СТЕРЖНЕВЫЕ ФЕРМЫ
- •12.1. Общая характеристика и классификация ферм
- •12.2. Методы расчета плоских ферм
- •13. ИЗГИБ БРУСА
- •13.1. Поперечный изгиб
- •13.2. Расчеты на прочность при изгибе
- •13.3. Перемещения при изгибе
- •13.4. Расчет балок на жесткость
- •14. ВНЕЦЕНТРЕННОЕ СЖАТИЕ ИЛИ РАСТЯЖЕНИЕ
- •14.1. Определения. Условия прочности
- •14.2. Ядро сечения
- •15. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
- •15.1. Понятие об устойчивости
- •15.2. Продольный изгиб. Потеря устойчивости
- •15.3. Формула Эйлера для вычисления критической силы шарнирно закрепленного стержня
- •15.5. Критическое напряжение. Гибкость стержня
- •15.6. Продольный изгиб за пределом пропорциональности. Формула Ясинского
- •15.7. Диаграмма критических напряжений
- •15.8. Принципы рационального проектирования сжатых стержней
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
5. Центр тяжести
5. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
5.1. Центр параллельных сил
Рассмотрим систему параллельных сил F1, F2 ,…, FN (рис. 5.1). Силы приложены в точках с координатами xn, yn. Заданная система параллельных сил имеет равнодействующую R , параллельную заданным си-
N
лам и равную по модулю алгебраической сумме заданных сил R = ∑Fn ,
n=1
приложенаравнодействующаявточкеСскоординатамиxC, yC.
Точка С, через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил, называется центром параллельных сил.
Вычислим момент от равнодействующей R и от сил Fn относительно осей Оy и Оx, получим
my (Fi )= R xC = F1x1 + F2 x2 + + FN xN ; mx (Fi )= R yC = F1 y1 + F2 y2 + + FN yN .
Из этих уравнений вычислим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
x |
= |
F x |
+ F x |
|
+ + F x |
|
|
|
∑Fi xi |
; |
||||
1 1 |
2 2 |
|
n n = n=1 |
|||||||||||
C |
|
F1 + F2 |
+ |
+ Fn |
|
|
|
|
R |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
y |
= |
F y |
+ F y |
2 |
+ + F y |
|
|
|
|
∑Fi yi |
. |
|||
1 1 |
2 |
|
n |
n = n=1 |
||||||||||
C |
|
F1 + F2 |
+ |
+ Fn |
|
|
|
|
R |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы для координат центра параллельных сил:
|
N |
|
|
N |
|
|
|
∑Fn xn |
|
|
∑Fn yn |
|
(5.1) |
x = |
n=1 |
, |
y = |
n=1 |
. |
|
|
|
|||||
C |
R |
|
C |
R |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
105 |
И. В. Богомаз. Механика
Рис. 5.1
Здесь N – число сил, образующих систему параллельных сил. При N → ∞ имеем
|
N |
|
N |
|
|
∑Fn xn |
|
∑Fn yn |
|
x = |
n=1 |
, y = |
n=1 |
. |
|
|
|||
C |
R |
C |
R |
|
|
|
|
Размерность статического момента – единица длины в кубе (см3, м3). Статические моменты могут принимать положительные и отрицательные значения или быть равные нулю.
5.2. Центр тяжести твердого тела
Центр тяжести тела и центр системы параллельных сил, которую приближенно образуют силы тяжести элементарных сечений тела, совпадают. Действительно, если Fn ≡ Pn , где Pn – вес элементарной
частицы тела, то R ≡ P, где P – вес тела (рис. 5.2).
Вычислим координаты центра тяжести xC, yC, используя формулу (5.1). Имеем
x |
= ∑Pn xn , |
y |
= ∑Pn yn , |
z |
= ∑Pn zn . |
(5.2) |
C |
P |
C |
P |
C |
P |
|
|
|
|
|
N
Здесь P = ∑Pn – вес системы, xn, yn, zn – координаты сил Pn.
n=1
106
5. Центр тяжести
Рис. 5.2
Для однородного тела силу тяжести можно вычислить через плотность тела γ. Если рассматриваемое тело однородно, то обозначая удельную плотность вещества γ, получим
Pn = γ Vn , P = γV , dP = γdV , γ = const.
(Vn – объем элементарной частицы тела; dV – элементарный объем тела, V – объем тела).
Подставляя это выражение в равенство (5.2) после сокращения на γ, получим
|
N |
|
|
N |
|
|
N |
|
|
|
∑Vn xn |
|
|
∑Vn yn |
|
|
∑Vn zn |
|
|
x = |
n=1 |
; |
y = |
n=1 |
; |
z = |
n=1 |
. |
(5.3) |
|
|
|
|||||||
C |
V |
|
C |
V |
|
C |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если в (5.2) перейти к пределу N → ∞, увеличивая число элементарных частей N до бесконечности, то после замены бесконечной суммы интегралом получим координаты центра тяжести твердого тела:
x = |
1 |
∫ |
x dV, |
y = |
1 |
∫ |
y dV, |
z = |
1 |
∫ |
z dV. |
(5.4) |
|
V |
V |
V |
|||||||||||
C |
|
C |
|
C |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
V |
|
|
|
V |
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.3. Центр тяжести плоского сечения
Рассмотрим однородное тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями и контурной поверхностью (рис. 5.3). Такое тело будем называть пластиной. Так как пластина однородна, ее центр тяжести делит толщину пластины h на равные части.
107
И. В. Богомаз. Механика
Рис. 5.3
Совместим с плоскостью симметрии координатную плоскость
Oxy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разложим все тело на N малых элементов площадью An . Вес |
||||||||||
каждого элемента n-го элемента равен |
Pn . Воспользуемся формулой |
|||||||||
(5.2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При N → ∞ имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z = 0, |
x = |
1 |
|
x dA, |
y = |
1 |
|
y dA. |
||
A ∫ |
A ∫ |
|||||||||
|
C |
C |
|
C |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
A |
|
|
|
A |
|
При h → ∞ пластину будем называть сечением.
5.4. Центры тяжести простейших тел
Дуга окружности. Центр тяжести находится на оси симметрии дуги, которую примем за ось координат Ox (рис. 5.4). Координату центра тяжести дуги АВ вычисляем по формуле
1 B
xC = L ∫A x d .
Дуга окружности АB, равная L, определяется радиусом гиваемым ее центральным углом 2α. Тогда
(5.5)
R и стя-
L = R 2α, x = R cos ϕ, d = R dϕ.
108
5. Центр тяжести
Рис. 5.4
Подставляя эти значения в формулу (5.5), получим
|
1 |
+α |
R2 cosϕdϕ = |
R |
|
|
+α = |
R |
[sin α−sin(−α)]= R sin α. |
||||
x = |
|
sin ϕ |
|
||||||||||
|
|
||||||||||||
R 2α ∫ |
|
|
|||||||||||
C |
|
2α |
|
|
−α |
2α |
α |
||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
−α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Центр тяжести дуги окружности x |
|
= R |
sinα |
. |
|
||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
α |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Круговой сектор. В силу симметрии центр тяжести кругового сектора радиусом R находится на оси Ox (рис. 5.5). Вычислим координату центра тяжести в полярной системе координат
xc = 1A ∫A x dA = 1A ∫∫A r2 cos ϕ dr dϕ.
Здесь x = r cosφ, dA = dx, dy = rdr dφ.
Рис. 5.5
109
И. В. Богомаз. Механика
Площадь кругового сектора
|
|
|
R |
|
+α |
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
A = ∫rdr ∫ dϕ = 2 |
|
|
α = R2 α. |
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
−α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = |
1 |
|
r2 cos |
ϕ dr dϕ = |
|
1 |
|
|
R r2dr |
+α cosϕdϕ = |
|||||||||||
A ∫∫ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
αR2 ∫ |
|
|
∫ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
−α |
|
||
|
|
= |
1 1 |
r |
3 |
|
R |
sin α |
|
+α |
= |
2 |
R |
sin α |
. |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
αR2 3 |
|
|
0 |
|
−α |
3 |
|
α |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Центр тяжести кругового сектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
= 2 |
R sin α. |
|
|
|
(5.6) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
3 |
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
Четверть круга. В силу симметрии центр тяжести четверть круга радиусом R находится на оси симметрии, тогда xC = yC (рис. 5.6). Координату центра тяжести полукруга вычислим по формуле
Здесь
Имеем
xC
= πR4 2
xC = 1A ∫A x dA.
A = 14 πR2 , dA = dx dy.
|
1 |
|
4 |
|
|
R |
|
|
R2 −y2 |
|
||
= |
∫xdx dy = |
|
|
∫y dy |
∫ x dx = |
|||||||
A |
πR |
2 |
||||||||||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
R |
|
|
2 |
|
|
|
R3 |
|
4R . |
||
∫(R2 − y2 )dy = |
|
(R3 − |
) = |
|||||||||
2 |
|
πR |
2 |
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
3π |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
110
5. Центр тяжести
Рис. 5.6
Центр тяжести кругового сектора
xC = yC = 43Rπ .
Центр тяжести полукруга радиусом R находится на оси симметрии, которую примем за ось Oy. Координату центра тяжести полукруга вычислим по формуле
|
|
A ∫ |
|
|
|
x = 0, |
y = |
1 |
|
y dA. |
(5.7) |
|
|||||
C |
C |
|
|
|
|
A
Перейдем в полярную систему координат:
y = r sin ϕ, dA = dx dy = r dr dϕ.
Подставляя эти значения в формулу (5.7), получим
y |
|
= |
1 |
∫ |
y dx dy = |
2 |
∫∫ |
r sin ϕ r dr dϕ = |
||||||||
|
A |
πR2 |
||||||||||||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
R |
|
2π |
|
|
|
2 |
|
|
R3 |
|
4R . |
= |
|
|
∫r |
2dr ∫sin ϕdϕ = |
|
|
|
2 = |
||||||||
πR |
2 |
πR |
2 |
3 |
||||||||||||
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
3π |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
111