3. Формула Ньютона-Лейбніца

На основі наведених властивостей можна легко довести теорему про похідну від інтеграла із змінною верхньою межею: якщо функція неперервна на проміжку_{, похідна від інтеграла дорівнює підінтегральній функції: .}

_{Дійсно, згідно з властивістю 6) визначеного інтеграла, маємо:}

.

Отже, .

Використовуючи теорему про середнє до інтеграла , отримаємо:. Таким чином,. Отже,. Але колито. Це означає, що, що і потрібно було довести.

На основі доведеної теореми легко можна довести знамениту формулу Ньютона-Лейбніца: якщо – яка-небудь первісна від неперервної функції, то

.

Дійсно, якщо – яка-небудь первісна від неперервної функції, то, оскільки– також її первісна, маємо:

, де – стала.

Для визначення цієї сталої покладемо в останній рівності

або Звідси одержуємо:. Таким чином,. Підставившиодержуємо формулу Ньютона-Лейбніца, яка встановлює зв’язок між визначеним та невизначеним інтегралами. Цю формулу записують ще так:

Наприклад

Для знаходження визначених інтегралів користуються методом заміни змінної та методом інтегрування по частинах.

Так, для обчислення інтеграла , де, можна ввести нову зміннуза формулою:. Якщо:

а)

б) неперервні при;

в) – визначена і неперервна функція на відрізку, то має місце формула:

.

Наприклад, .

При потребі користуються формулою інтегрування по частинах:

Наприклад.

.

4. Наближене обчислення інтеграла

Для наближеного обчислення інтегралів користуються різними інтегральними сумами.

Для методу прямокутників

,

де – крок розбиття,.

Для методу трапецій

,

де .

Для методу парабол (методу Симпсона)

,

де

При інтегральні суми прямують до інтеграла. Величина похибки(при умові існування похідних, що характеризують) визначається рівностями

для методу прямокутників;

, для методу трапецій;

для методу парабол.

Наприклад. Обчислити за формулою прямокутників, взявши

Розв'язування. У цьому прикладі , причому

5. Невласні інтеграли першого і другого роду. Поняття про кратні інтеграли

І. Розглянемо інтеграли з нескінченними границями, або невласні інтеграли першого роду.

Нехай , а функціянеперервна. Якщо існує скінченна границя, то вона називаєтьсяневласним інтегралом від на проміжкуі позначається так:. Отже,.

Якщо прине має скінченої границі, то говорять, щоне існує (або розбігається).

Якщо , то геометричноце площа нескінченної фігури, обмеженої лініямита віссю(рис.1).

Рис. 1. Геометричний зміст невласного інтегралу 1-го роду.

Аналогічно вводять означення таких інтегралів:

.

Наприклад. Дослідити на збіжність інтеграли:

а) б)

Розв'язування. а) ; (інтеграл збігається до 1);

б) (інтеграл розбіжний).

Невласний інтеграл першого роду має такі властивості:

1. Якщо збігається то збігається також, і навпаки. При цьому

2. Якщо збігається, то

3. Якщо збігається, то ізбігається, причому

.

4. Якщо збігаються обидва інтеграла і, то збігається інтеграл

причому

Для збіжності невласного інтеграла у випадку додатної функції необхідно і достатньо, щоб інтеграл при зростанні А залишався обмеженим зверху:

Для інтегралів від додатних функцій має місце теорема порівняння: якщо при має місце нерівність, то із збіжності інтегралувипливає збіжність інтегралу(або, що те ж саме, із розбіжності інтегралувипливає розбіжність інтегралу).