- •Тема 6. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем задачі нелінійного програмування. Основні методи їх розв’язування та аналізу
- •1. Економічна і математична постановка задачі нелінійного програмування
- •2. Геометрична інтерпретація задачі нелінійного програмування
- •3. Основні труднощі розв’язування задач нелінійного програмування
- •4. Класичний метод оптимізації. Метод множників Лагранжа
- •4.1. Умовний та безумовний екстремуми функції
- •У разі, якщо
- •4.2. Метод множників Лагранжа
- •5. Необхідні умови існування сідлової точки
- •6. Теорема Куна—Таккера
- •6.1. Опуклі й угнуті функції
- •7. Опукле програмування
7. Опукле програмування
Опукле програмування розглядає методи розв’язування задач нелінійного програмування, математичні моделі яких містять опуклі або угнуті функції.
Загальний вигляд задачі опуклого програмування такий:
, (8.31)
,; (8.32)
, (8.33)
де ,— угнуті функції.
Аналогічний вигляд має задача для опуклих функцій.
Позначимо: , тоді, і маємо:
, (8.34)
; (8.35)
, (8.36)
де ,— опуклі функції.
Оскільки ці задачі еквівалентні, то нижче розглянемо задачу (8.31)—(8.33).
Множина допустимих планів задачі, що визначається системою (8.32), є опуклою.
Як наслідок теорем 8.2 та 8.3 справджується таке твердження: точка локального максимуму (мінімуму) задачі опуклого програмування (8.31)—(8.33) є одночасно її глобальним максимумом (мінімумом).
Отже, якщо визначено точку локального екстремуму задачі опуклого програмування, то це означає, що знайдено точку глобального максимуму (мінімуму).
У разі обмежень-нерівностей задачу опуклого програмування розв’язують, застосовуючи метод множників Лагранжа.
Функція Лагранжа для задачі (8.31)—(8.33) має вид:
(8.37)
де — множники Лагранжа.
Використовуючи теорему Куна — Таккера, маємо необхідні та достатні умови існування оптимального плану задачі опуклого програмування.
Теорема 8.4. Якщо задано задачу нелінійного програмування виду (8.31)—(8.33), де функції диференційовні і вгнуті по Х, то для того, щоб векторбув розв’язком цієї задачі, необхідно і достатньо, щоб існував такий вектор, що пара (,) була б сідловою точкою функції Лагранжа, тобто щоб виконувалися умови:
(І) ,; (8.38)
(ІІ) ,; (8.39)
(ІІІ) ,; (8.40)
(IV) ,. (8.41)
Для задачі мінімізації (8.34)—(8.36), де всі функції диференційовні і опуклі по Х, маємо умови, аналогічні вищенаведеним, але зі знаком «≥» в нерівностях (8.39) та (8.41).
Сформульована теорема доводиться з допомогою використання вищенаведених теорем цього та попередніх параграфів.