- •Тема 6. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем задачі нелінійного програмування. Основні методи їх розв’язування та аналізу
- •1. Економічна і математична постановка задачі нелінійного програмування
- •2. Геометрична інтерпретація задачі нелінійного програмування
- •3. Основні труднощі розв’язування задач нелінійного програмування
- •4. Класичний метод оптимізації. Метод множників Лагранжа
- •4.1. Умовний та безумовний екстремуми функції
- •У разі, якщо
- •4.2. Метод множників Лагранжа
- •5. Необхідні умови існування сідлової точки
- •6. Теорема Куна—Таккера
- •6.1. Опуклі й угнуті функції
- •7. Опукле програмування
5. Необхідні умови існування сідлової точки
Для розроблення методів розв’язування окремих типів задач нелінійного програмування важливе значення має поняття сідлової точки, а також визначення необхідних і достатніх умов існування сідлових точок функції Лагранжа у (n + m)-вимірному просторі зміннихза довільних умов, які можуть накладатися на їх знаки (необхідні і достатні умови існування сідлової точки функції Лагранжа за відсутності обмежень на знаки змінних розгляну- то в§ 8.4).
Розглянемо нелінійну задачу:
,
.
Причому на компоненти векторів накладено обмеження на знаки. Позначимо множину точок, що задовольняють такі обмеження, через.
Функція Лагранжа для цієї задачі має вигляд:
=. (8.12)
Точка називається сідловою точкою функції Лагранжа (8.12), якщо для всіхвиконується співвідношення:
. (8.13)
Для диференційовних функцій тазнайдемо необхідні умови існування сідлової точки.
Сідлова точка функціївиду (8.12) за означенням задовольняє умову:
.
Нерівність виконується для всіх точок Х, тобто також і для тих, у яких лише одна координата відрізняється від Х*. Допустимо, що це хk, а всі інші збігаються з координатами сідлової точки.
О
Рис. 8.5
Розглянемо спочатку випадок, коли , тобто лише частину координатної площини, для якої.
Можливі такі випадки:
1) коли всі , то максимальне значення функції L(xk) досягатиметься в точці, для якої (рис. 8.5).
2
Рис. 8.6
Рис. 8.7
Рис. 8.8
3) коли точка максимуму функції L(xk) досягатиметься також у точці , а частинна похідна(рис. 8.7).
Узагальнюючи всі три ситуації, маємо:
для
та .
Розглядаючи другу частину нерівності (8.13):
аналогічними міркуваннями, що проілюстровані рис. 8.8.—8.10, встановлюються необхідні умови для похідних по функції Лагранжа в сідловій точці.
Рис. 8.9 Рис. 8.10
Об’єднуючи всі три випадки для невід’ємних координат, маємо необхідні умови сідлової точки:
для тих індексів j, де. (8.14)
Зауважимо, що для маємо ті самі випадки, які зображено на рис. 8.1—8.6, причому графіки будуть симетрично відображені відносно осі Оy, тобто для недодатних координат необхідна умова має вигляд:
для тих індексів j, де. (8.15)
І нарешті, як відомо з попереднього параграфа, якщо на знак хjумови не накладаються, то необхідною умовою є:
,— довільного знака. (8.16)
Узагальнення всіх випадків приводить до рівняння:
. (8.17)
Розглядаючи другу частину нерівності (8.13), за допомогою аналогічних міркувань встановлюємо необхідні умови для похідних по функції Лагранжа в сідловій точці:
для тих індексів і, де, (8.18)
для тих індексів і, де, (8.19)
для тих індексів і, демає довільний знак. (8.20)
Отже, справджується рівняння:
. (8.21)
Сукупність співвідношень (8.14)—(8.21) становить необхідні умови, які має задовольняти сідлова точка функції Лагранжа для точок, що належать множині. При цьомуповинна мати частинні похідні по всіх компонентах векторів.