7. Опукле програмування

Опукле програмування розглядає методи розв’язування задач нелінійного програмування, математичні моделі яких містять опуклі або угнуті функції.

Загальний вигляд задачі опуклого програмування такий:

, (8.31)

,; (8.32)

, (8.33)

де ,— угнуті функції.

Аналогічний вигляд має задача для опуклих функцій.

Позначимо: , тоді, і маємо:

, (8.34)

; (8.35)

, (8.36)

де ,— опуклі функції.

Оскільки ці задачі еквівалентні, то нижче розглянемо задачу (8.31)—(8.33).

Множина допустимих планів задачі, що визначається системою (8.32), є опуклою.

Як наслідок теорем 8.2 та 8.3 справджується таке твердження: точка локального максимуму (мінімуму) задачі опуклого програмування (8.31)—(8.33) є одночасно її глобальним максимумом (мінімумом).

Отже, якщо визначено точку локального екстремуму задачі опуклого програмування, то це означає, що знайдено точку глобального максимуму (мінімуму).

У разі обмежень-нерівностей задачу опуклого програмування розв’язують, застосовуючи метод множників Лагранжа.

Функція Лагранжа для задачі (8.31)—(8.33) має вид:

(8.37)

де — множники Лагранжа.

Використовуючи теорему Куна — Таккера, маємо необхідні та достатні умови існування оптимального плану задачі опуклого програмування.

Теорема 8.4. Якщо задано задачу нелінійного програмування виду (8.31)—(8.33), де функції диференційовні і вгнуті по Х, то для того, щоб векторбув розв’язком цієї задачі, необхідно і достатньо, щоб існував такий вектор, що пара (,) була б сідловою точкою функції Лагранжа, тобто щоб виконувалися умови:

(І) ,; (8.38)

(ІІ) ,; (8.39)

(ІІІ) ,; (8.40)

(IV) ,. (8.41)

Для задачі мінімізації (8.34)—(8.36), де всі функції диференційовні і опуклі по Х, маємо умови, аналогічні вищенаведеним, але зі знаком «≥» в нерівностях (8.39) та (8.41).

Сформульована теорема доводиться з допомогою використання вищенаведених теорем цього та попередніх параграфів.