Математическая логика и ТА (Рудаков С.А

отрицание конъюнкции есть дизъюнкция отрицаний.

Пример 2. Доказательство представления импликации

(A=>B)=(-AVB) через дизъюнкцию.

2.Используя законы алгебры высказываний привести следующие формулы к конъюнктивной нормальной форме (КНФ).

2.1.(А=>С)=>(-А&В)V(АVВ)

2.2.AV(D&В)V(Е&D)=>(С&D)V(С=>А&С)V(Е&DVВ)

2.3.А=>(В&С)=>(D&A)V(С&А)=>(-D&С)=>(-В=>(AVВ))

2.4.(С=>(A&B))V((C&B)=>D)V(D=>A)

2.5.D=>((E&B)=>(C&A)) ~ (D&B ~ C)=>(A=>B)

2.6.AV(B&A=>B&B)=>(C=>(-D))&(A=>D)V( -A & C)

2.7.((А & В) => С) => (А => (В&С))

2.8.A V(В => С)&(С & D) =>((E& -F) V (D & -Е) => A)

2.9.(А & (В => С)) ~ D& Е V(А & -(В V С)) =>(D & -Е)

2.10.(А => (В & -С))& -А => В& (-А => (-В => С))

2.11.-С& (D => С& А) => ((-В => D)& В => А)

2.12.((A V C) ~ -(B V D)) => (-A~B)V( -C~D)

2.13.(А => В& С)=>(D& B => Е& D)V -(Е & F)& А

2.14.С V (В => А)& -В => D& С V A V D

2.15.-C& A V B => (B => C) VA

2.16.(А => С& D V F& В V Е& -D) => -С& А V В V А V (Е & F)

2.17.А& В V С& (С ~ D) => (В => -А) V (В => D)

2.18.(А => (С => В)& D) => А& С V(D => В)

11

2.19.(Е V F& С => (D => Е))& (А => В) V С V D& (A V F)

2.20.(–A ~ B& D) => C& (-C ~ D)V(C => B)V(D => A)

2.21.(А ~ В)& (С ~ D) => ((A V С) ~ (B V D))

2.22.(А => (В => С)& С) => (В => -A)& D V А& D V(В => -D)

2.23.(А => В& В V D& D) => (A& B V C& (С => D))

2.24.А& В V С => (А & В=>С)

2.25.С&(А => В) => (С => А) V А

1.1.6Истинные и общезначимые формулы

Формула А(Х1, Х2,...,Хп) называется истинной (выполнимой),

если существует набор значений переменных Х10,Х20,...,Хп0 такой, что

А(Х10,...,Хп0) = 1.

Формула А(Х1, Х2,...,Хп) называется общезначимой, если при любом наборе переменных она истинна. Для общезначимой формулы используется символическая запись ╞ A.

Теорема 1.2 (о положительном решение проблемы разрешимости в алгебре высказываний). Истинность или общезначимость любой формулы можно установить перебором конечного числа вариантов.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из определения формулы следует, что ее значения можно представить в табличном виде, сопоставив каждому набору значений переменных значения 0 или 1. Если среди этих значений есть 1, то формула истинна; если все значения равны 1, то формула общезначима.

1.1.7 Клауза и логическое следствие

Пусть даны формулы A1, A2,...,Ат , В, зависящие от пропозициональных

A1, A2,...,Ат причины (посылки), В - заключение (следствие) будем называть

клаузой. Клаузу (1) будем читать так: «Если посылки A1, A2,...,Ат истинны, то

12

заключение В тоже истинно» или, по-другому «Если причины A1, A2,...,Ат имели место, то будет иметь место и следствие В».

Формула В является логическим следствием формул A1, A2,...,Ат

(или, клауза верна) если все формулы A1, A2,...,Ат истинны, то формула В истинна.

Для проверки наличия логического следования достаточно построить

истинностную таблицу.

Пример 1. Проверить, что

X, Y, (Z&X => -Y) |= -Z

(2)

A1=X, A2=Y, А3=(Z&X => -Y), B=-Z.

Поскольку нас интересуют только истинные значения A1, A2, А3, то достаточно рассмотреть только два варианта наборов значений переменных

X, Y, Z, что отражено в таблице 4.

Таблица 4 Таблица истинности для клаузы X, Y, (Z&X => -Y) |= -Z

Из первой строки видно, что (1.3) есть верная клауза.

Теорема 1.3 (о дедукции. Эрбран (1930)). А |= В, тогда и только

тогда, когда |= (A => B).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Таблица 5 Таблица истинности для A => B

А |= В означает, что при всех значениях Х1, Х2,...,Хп истинность A

влечет истинность B. Случай, соответствующий строке 3 отсутствует. Если A

ложно, то A=>B истинно. Итак, A=>B - общезначимо.

В обратную сторону. Общезначимость формулы A => B означает, что значения формул A, B могут быть только такими как определены в строках 1, 2, 4 таблицы 5. Случаю справедливости клаузы А |= В соответствует только

одна строка 4 таблицы 5, что и требовалось доказать.

Следствие. A1, A2,..., Ат |= В тогда и только тогда, когда

Рассмотренная клауза может быть интерпретирована так:

Положим A="Сверкнула молния", B="Грянул гром". Составим следующую легенду

"Известно, что, если сверкнула молния, то после этого грянет гром.

Молния сверкнула. Следовательно, должен грянуть гром."

Не зная логики, люди часто используют эту легенду, добавив к легенде расчет расстояния до эпицентра грозы по формуле "количество секунд между молнией и громом" умноженное на скорость распространения звука (около

300м/сек).

1.1.8Эквивалентные формы клаузы

По следствию из теоремы 1.3 клауза A1, A2,..., Ат |= В справедлива тогда и только тогда, когда общезначима формула

(A1& A2&...& Ат )=> В. (3)

Представим импликацию через дизъюнкцию:

-(A1& A2&...& Ат ) V В.

14

По закону де Моргана, получим равносильную формулу

(-A1V- A2V...V-Ат ) V В.

По закону ассоциативности,

(-A1V -A2V...V -Ат-1) V (-Ат V В).

По закону де Моргана, получим равносильную формулу

-(A1& A2&...& Ат-1 ) V (-Ат V В).

Представим дизъюнкцию через импликацию:

(A1& A2&...& Ат-1 ) => (-Ат V В).

По следствию из теоремы 1.3 получим клаузу

(A1, A2,..., Ат-1) |= (-Ат V В),

которая справедлива так же как и исходная клауза (1).

В силу коммутативности конъюнкции на месте посылки Ат может оказаться любая другая, причем не одна. Например, клауза:

(A1, A2, А3, А4) |= (В1 V В2 V В3)

может быть преобразована в другую эквивалентную форму:

(-В2, А3, -В3) |= (-A1 V В1 V -A2 V -А4).

Если символ «|= » клаузы (1) сместить в крайнее левое положение, то она превратится в тавтологию; если же его сместить в крайнее правое положение, то — в противоречие.

1 |= (-A1V -A2V...V -Ат ) V В — тавтология,

A1, A2,..., Ат, -B |= 0 — противоречие.

Действительно, добавив в клаузу (1) слева 1 через «,» и сместив импликацию влево, получим смещением тавтологию. Добавив в клаузу (1)

справа через «V» 0 и сместив импликацию вправо, получим противоречие.

1.1.9 Силлогизмы

Силлогизм [гр. syllogismos] - умозаключение. У Аристотеля - умоза-

ключение, состоящее из двух высказываний A и B (посылок), из которых следует третье высказывание C (вывод). Для силлогизма используется

,

символическая запись вида . Силлогизм - это правило, позволяющее из

15

В таблице 7 проверке подлежат строки 1 – 6 и 8. В этих строках значения посылки истинны. Т.к. значения следствия – истинны, то клауза – верна .

Таблица 7 Доказательство силлогизма сложной контрапозиции

В теории вывода используют пять конкретных методов доказательства справедливости клауз:

метод таблиц истинности,

метод резолюций,

аксиоматический метод,

метод Вонга,

метод натурального исчисления.

1.1.10 Таблицы истинности

Рассмотрим конструктивный метод доказательства, основанный на таблицах истинности. Чтобы понять его, достаточно составить таблицу истинности для какого-нибудь одного примера. Пусть дана следующая легенда:

Кассир Сидорова сказала, что она видела водителя контейнеровоза Иванова в комнате отдыха. Эта комната по ее словам находится рядом с помещением склада готовой продукции. Стреляли в складе. Водитель заявил,

что он никаких выстрелов не слышал. Версии следователя:

17

a)если кассир говорит правду, то водитель вводит следствие в заблуждение;

b)кассир и водитель говорят правду.

Введем переменные для высказываний:

X1 = «Кассир сказала правду»,

X2 = «Водитель находился в комнате отдыха»,

X3 = «Комната отдыха находится вблизи склада»,

X4 = «Водитель слышал выстрелы»,

X5 = «Водитель сказал правду».

Посылки следователя в виде формул:

A1 = X1 => X2 = "Если кассир сказала правду, то водитель находился в

комнате отдыха".

A2 = X2 => X3 = "Если водитель находился в комнате отдыха, то он должен был слышать все, что делается на складе".

A3 = X3 => X4 = "Если он имел возможность слышать, что делается на складе, то он слышал и выстрелы".

A4= X5=>-X4 = "Если верить водителю, то он не слышал выстрелов".

Версии следователя:

B1=X1=>-X5 = "Водитель меня обманывает при условии, что кассир говорит правду".

B2=X1&X5 = "Кассир и водитель говорят правду".

Для каждой версии следователя своя клауза:

A1, A2, A3, A4|=B1

A1, A2, A3, A4|=B2

Составим таблицу истинности (табл. 8).

Таблица 8 Таблица истинности клауз

A1, A2, A3, A4|=B1 и A1, A2, A3, A4|=B2

Строки в которых все формулы A1, A2, A3, A4 истинны: 1-3, 7,15,31. В

этих строках B1 принимает значение истины, следовательно клауза A1, A2, A3, A4|=B1 справедлива. Клауза A1, A2, A3, A4|=B2 не верна, т.к. в строке 31

значение формулы B2 ложно.

1.1.11 Метод резолюций

Суть метода резолюций сводится к тому, что два посылочных конъюнкта с противоположными формулами всегда можно склеить в один

заключительный дизъюнкт, в котором уже не будет противоположных

19

где A, B, C — произвольные формулы. Формулу (1) часто называют

склейкой, а применение формулы - склеиванием.

Таблица 9 Доказательство истинности клаузы склейки

Алгоритм применения метода резолюций

1.Преобразуем клаузу к эквивалентной форме противоречия.

2.Левую часть клаузы преобразуем к КНФ.

3.Применяем метод резолюций к конъюнктам, имеющим форму дизъюнкции.

4.Повторяем предыдущий пункт алгоритма до тех пор пока не получим в левой части противоположные формулы в качестве конъюнктов, что и есть ложь.

5.Доказательство клаузы закончено.

Пример 1. Докажем с помощью метода резолюций справедливость

правила Modus ponens:

A, A=>B |= B.

Применяем алгоритм.

1.A, A=>B, -B |= 0

2.Применяем законы поглощения и представление импликации через дизъюнкцию

0VA, -AVB, -BV0 |= 0

3-4. Здесь имеются три дизъюнкта. Склеивая их последовательно,

20