Решения

2a) С ->A,BvC,B->D,D->A,-A=> 0

-СvA,BvC, -BvD, -DvA,-A=> 0

1 2 3 4 5

1	-СvA
2	B v C
3	-Bv D
4	-DvA
5	-A
6	AvB	1,2
7	-C	1,5
8

6.а) -C, A v B => (B -> C) ->A

№пп	Выводы	Почему
1	-C, A v B, (B -> C), -A=>0	Св-во клаузы
2	-C, B, -BvC=>0	М.Рез.
3	-C, C=>0

6.b) А -> С,D->F, В -> Е, -D-> -С, А -> В => А -> (Е &F)

№пп	Выводы	Почему
1	А->С,D->F,В->Е,-D->-С,А->В,А,-(Е &F)=>0	Св-во клаузы
2	A,С,D->F,В->Е,С->D,А->В,-Еv-F=>0	МP
3	A,С,D,F,В->Е,А->В,-Еv-F=>0	MP
4	A,С,D,F,-Е ->-В,А->В,Е->-F=>0	TP
5	F,-Е ->-В,А->В,F->-Е =>0	TP
6	A,С,D,F,-Е,-В,-В->-А =>0	MP
7	A,С,D,F,-Е,-В,-А =>0	MP

6. Примеры решения задач

   1. Доказать методом натурального исчисления истинность следующей клаузы:

В -> (С -> А), -В -> D, С, -D => А .

Доказательство:

№ пп	Выводы	Почему
	P=> -B->D	Р2, БП
	Р, -B=>D	1, УИ
	Р, -B=> -D	Р4, БП
	Р, -B => 0	2, 3, УО
	Р => В -> (С ->А)	P1, БП
	Р => С -> А	4, 5, УИ
	Р => А	6, Р3, БП, УИ

2. Доказать аксиоматическим методом истинность клаузы:

А, В -> D, С -> D, А -> (В v С) => D .

Доказательство:

№ пп	Выводы	Почему
	B -> D,C -> D, ВvC=> D	MP
	-BvD, -СvD, ВvС =>D
	(-B & -C) v D,B v C=> D
	(В vС) ->D, ВvС =>D	MP
	(В vС),D=>D

3. Доказать методом Вонга истинность следующей клаузы:

В -> (D -> С), D, С -> (A v В) => A v В .

Доказательство:

1. В v-DvС,D, -CvAvB=>AvB,

1. 1. В, D, -С v A v B, -A => B

1. 2. -D, D, -С v A v B, -A => B

1. 3. С, D, -СvAvB=>AvВ

1.3.1. C, D, -C => A v B

1.3.2. С, D, A, -A => B

1.3.3. С,D, B, -A => B

4. Доказать методом резолюций истинность следующей клаузы:

А -> В, С -> D, B -> E, D -> F, Е -> -F, А -> С => -А .

Доказательство:

Приводим к нормальной конъюнктивной форме:

-AvВ, -СvD, -ВvЕ, -DvF, -Ev-F, -AvС, А => 0

P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7

№ пп	Выводы	Почему
	-B v -F	Р3, Р5
	-C v F	P2, P4
	-A v -F	1, P1
	-A v F	2, P6
	-А	3,4
	0	5, Р7

5. Пусть задана система аксиом :

А1. 1 => А -> (В -> А)

А2. 1 => (А -> (В -> С)) ->((А -> В) -> (А -> С))

A3. 1 => (А -> В) -> ((А -> -В) -> -А)

и правило отделения (modusponens)

МР. А, А -> В => В

С помощью этих аксиом и правила МР доказать справедливость закона реф­лексивности:

Доказательство(символы «1 => » здесь и в следующем примере писать не будем):

№ пп	Выводы	Почему
	A->((A->A) ->A)	A1
	(А -> ((А -> А) -> А)) -> ((А -> (А -> А)) -> (А -> А))	А2
	(А -> (А -> А)) -> (А -> А)	1, 2, МР
	A-> (A->A)	A1
	А -> А	3,4,МР