Algebra_i_geometriya / ІІ модуль / NE_2.1 / Пит. та завд. для контролю і самоконтролю

Питання та завдання для поточного самоконтролю

та контролю знань

Питання:

1. Многочлени від однієї змінної. Додавання, віднімання та множення многочленів. Властивості цих дій.

2. Ділення многочленів. Теорема про ділення многочленів з остачею. Подільність мно­го­чле­нів. Властивості подільності.

3. Дільники многочлена. Спільні дільники двох многочленів. Найбільший спільний дільник двох многочленів. Алгоритм Евкліда.

4. Взаємно прості многочлени, їх властивості.

5. Корінь многочлена. Теорема Безу. Кратні корені.

6. Схема Горнера та її застосування до знаходження значення многочлена та його похідних в точці, до розкладу многочлена за степенями (x-a).

7. Основна теорема алгебри про існування коренів многочлена від однієї змінної. Розклад многочлена на множники.

8. Формули Вієта. Інтерполяційна формула Лагранжа.

9. Алгебраїчні методи знаходження коренів многочленів через їх коефіцієнти. Формули Кар­дано. Метод Феррарі (на практиці).

10. Знаходження раціональних коренів многочленів з раціональними коефіцієнтами. Звідність поліномів над полем раціональних чисел.

11. Раціональні дроби. Дії над ними. Властивості цих дій. Правильні, неправильні, скоротні та не­скоротні раціональні дроби. Прості дроби 1-го та 2-го типу. Основна теорема про раціональні дроби.

12. Означення та формули обчислення верхньої та нижньої меж додатних і верхньої та нижньої меж від'ємних коренів многочлена від однієї змінної.

13. Система многочленів Штурма. Теорема Штурма про кількість на відрізку коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами.

14. Теореми Бюдано-Фур’є та Декарта про кількість на відрізку коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами.

15. Наближене обчислення коренів многочленна з дійсними коефіцієнтами. Метод хорд. Метод дотичних (на практиці).

Завдання:

1. За допомогою алгоритму Евкліда обчислити найбільший спільний дільник многочленів та .

2. Знайти найбільший спільний дільник многочленів та .

3. Для многочленів та по­будувати многочлени та , які задовольняють рівність , де , використовуючи: а) алгоритм Евкліда; б) метод невизначених коефіці­єн­тів.

4. Розділити многочлен з остачею на та обчислити значення , якщо: а) ; б) .

5. Знайти значення многочлена при: а) ; б) .

6. Користуючись схемою Горнера, розкласти за степенями многочлен .

7. Виписати значення многочлена та всіх його похідних при .

8. Знайти значення для коефіцієнта так, щоб многочлен мав число коренем не нижче другої кратності.

9. При яких значеннях та многочлен має двократний ненульовий корінь?

10. Довести, що многочлен має число трикратним коренем.

11. Чому дорівнює кратність кореня для многочлена ?

12. Розкласти на суму простіших дробів І і ІІ типу дріб: а);б);в).

13. Знайти многочлен найменшого степеня за таблицею його значень: .

14. Побудувати многочлен четвертого степеня зі старшим коефіцієнтом 1, який має: а) корені ; б) трикратний корінь –1 та простий корінь ; в) дійсні коефіцієнти та корені та .

15. Знайти раціональні корені многочлена: а) ; б) ;

в) .

16. Використовуючи теорему Штурма, відокремити дійсні корені многочлена:

а) ; б) .