
Algebra_i_geometriya / ІІ модуль / NE_2.1 / Пит. та завд. для контролю і самоконтролю
.DOCПитання та завдання для поточного самоконтролю
та контролю знань
Питання:
-
Многочлени від однієї змінної. Додавання, віднімання та множення многочленів. Властивості цих дій.
-
Ділення многочленів. Теорема про ділення многочленів з остачею. Подільність многочленів. Властивості подільності.
-
Дільники многочлена. Спільні дільники двох многочленів. Найбільший спільний дільник двох многочленів. Алгоритм Евкліда.
-
Взаємно прості многочлени, їх властивості.
-
Корінь многочлена. Теорема Безу. Кратні корені.
-
Схема Горнера та її застосування до знаходження значення многочлена та його похідних в точці, до розкладу многочлена за степенями (x-a).
-
Основна теорема алгебри про існування коренів многочлена від однієї змінної. Розклад многочлена на множники.
-
Формули Вієта. Інтерполяційна формула Лагранжа.
-
Алгебраїчні методи знаходження коренів многочленів через їх коефіцієнти. Формули Кардано. Метод Феррарі (на практиці).
-
Знаходження раціональних коренів многочленів з раціональними коефіцієнтами. Звідність поліномів над полем раціональних чисел.
-
Раціональні дроби. Дії над ними. Властивості цих дій. Правильні, неправильні, скоротні та нескоротні раціональні дроби. Прості дроби 1-го та 2-го типу. Основна теорема про раціональні дроби.
-
Означення та формули обчислення верхньої та нижньої меж додатних і верхньої та нижньої меж від'ємних коренів многочлена від однієї змінної.
-
Система многочленів Штурма. Теорема Штурма про кількість на відрізку коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами.
-
Теореми Бюдано-Фур’є та Декарта про кількість на відрізку коренів многочлена з дійсними коефіцієнтами.
-
Наближене обчислення коренів многочленна з дійсними коефіцієнтами. Метод хорд. Метод дотичних (на практиці).
Завдання:
-
За допомогою алгоритму Евкліда обчислити найбільший спільний дільник многочленів
та
.
-
Знайти найбільший спільний дільник многочленів
та
.
-
Для многочленів
та
побудувати многочлени
та
, які задовольняють рівність
, де
, використовуючи: а) алгоритм Евкліда; б) метод невизначених коефіцієнтів.
-
Розділити многочлен
з остачею на
та обчислити значення
, якщо: а)
; б)
.
-
Знайти значення многочлена
при: а)
; б)
.
-
Користуючись схемою Горнера, розкласти за степенями
многочлен
.
-
Виписати значення многочлена
та всіх його похідних при
.
-
Знайти значення для коефіцієнта
так, щоб многочлен
мав число
коренем не нижче другої кратності.
-
При яких значеннях
та
многочлен
має двократний ненульовий корінь?
-
Довести, що многочлен
має число
трикратним коренем.
-
Чому дорівнює кратність кореня
для многочлена
?
-
Розкласти на суму простіших дробів І і ІІ типу дріб: а)
;б)
;в)
.
-
Знайти многочлен найменшого степеня за таблицею його значень:
.
-
Побудувати многочлен четвертого степеня зі старшим коефіцієнтом 1, який має: а) корені
; б) трикратний корінь –1 та простий корінь
; в) дійсні коефіцієнти та корені
та
.
-
Знайти раціональні корені многочлена: а)
; б)
;
в)
.
-
Використовуючи теорему Штурма, відокремити дійсні корені многочлена:
а)
;
б)
.