Algebra_i_geometriya / ІІІ модуль / NE_3.1 / Пит. і завд. для контр. і самоконтр

Питання та завдання для поточного самоконтролю

та контролю знань

Питання:

1. Лінійний простір. Означення та аксіоми. Ізоморфізм лінійних просторів. Означення та властивості.

2. Скінченно-вимірний лінійний простір. Базис. Розмірність простору. Координати вектора в даному базисі.

3. Зв'язок між базами. Матриця переходу від бази до бази. Зв'язок між координатами вектора в різних базисах.

4. Підпростори лінійного простору. Лінійна оболонка, натягнута на систему векторів.

5. Сума та перетин підпросторів лінійного простору. Теорема про зв'язок між розмірностями суми та перетину підпросторів лінійного простору.

6. Лінійний оператор, означення та властивості. Матриця лінійного оператора в деякому базисі. Координати образу вектора.

7. Зв'язок між матрицями лінійного оператора в різних базисах.

8. Область значень та ядро лінійного оператора. Ранг та дефект лінійного оператора, теорема про зв'язок між ними.

9. Невироджений лінійний оператор. Його властивості.

10. Характеристична матриця, характеристичний многочлен, характеристичне рівняння та характеристичні корені матриці лінійного оператора.

11. Власний вектор та власне значення лінійного оператора. Теорема про зв'язок характеристичних коренів лінійного оператора з його власними значеннями.

Завдання:

1. Довести, що множина всіх многочленів степеня не вище 3 з дійсними коефіцієнтами, для яких , утворює дійсний лінійний простір. Вказати приклад бази та розмірність цього простору.

2. Довести, що сукупність усіх векторів-рядків довжини 5, у яких друга координата у три рази більша за останню, утворює дійсний лінійний простір. Знайти деякий базис і координати вектора у вибраному базисі.

3. Довести, що сукупність всіх симетричних матриць -го порядку з дійсними елементами утворює дійсний лінійний простір. Знайти його розмірність та виписати приклад бази.

4. Довести, що множина матриць третього (четвертого) порядку, симетричних відносно обох діагоналей, з дійсними елементами, утворює дійсний лінійний простір. Знайти довільний базис і розмірність цього простору.

5. У дійсному лінійному просторі многочленів від степеня не вище 3 знайти матрицю переходу від базису , , , до базису , , , .

6. У дійсному лінійному просторі знайти матрицю переходу від базису до базису: а) ; б)

7. Переконатися, що многочлени утворюють базис у лінійному просторі многочленів степеня не вище 4. Знайти координати многочлена у цьому базисі.

8. Довести, що кожна з систем векторів , та , є базисом лінійного простору . Знайти зв’язок між координатами одного і того ж вектора відносно цих базисів.

9. Знайти розмiрнiсть суми i перетину лiнiйних пiдпросторiв, натягнутих на системи векторiв та .

10. Нехай –– оператор диференціювання у лінійному просторі многочленів степеня не вище 2 (тобто для довільного многочлена : ). Знайти матрицю цього оператора у базисі , , .

11. У дiйсному лiнiйному просторi многочленiв f(x) степеня не вище 4 задано оператор . Довести, що цей оператор лiнiйний i знайти його матрицю в базi , , , , .

12. Довести, що є лінійним оператор простору векторів з дійсними координатами (у якому визначене звичайне скалярне множення векторів), котрий діє за правилом , де . Знайти матрицю цього оператора в базисі , , .

13. Задано дiйсний лiнiйний простiр i опера­тор . Довести, що –– лiнiйний оператор i знайти його матрицю в базi .

14. Знайти матрицю оператора Х Х () у просторі матриць другого порядку з дійсними елементами у базисі ,

, , .

15. Лінійний оператор у базі , , задано матрицею . Знайти матрицю цього оператора в базисі , , .

16. Знайти ядро та образ лінійного оператора, заданого в деякому базисі матрицею . Чому дорівнює ранг та дефект цього оператора?

17. Знайти образ і ядро лінійного оператора:

а) , де ;

б) ; в) .

18. Знайти власні значення та власні вектори лінійноих операторів, що задаються в деякому базисі матрицею:

; ; .

19. З'ясувати, які з наступних матриць можна звести до діагонального виду шляхом переходу до нового базису ; .

3