1.2.3. Фазова затримка, що вноситься тонкою збираючою лінзою

Для того щоб визначити фазову затримку, яку вносить лінза (рис. 1.2.3) достатньо розрахувати різницю фаз, яку набуває хвиля вздовж відрізка(центр лінзи) та довільного відрізка.

Фаза, яку набуває хвиля вздовж відрізка дорівнює:

(1.2.6)

Ф

Рис. 1.2.3

аза, яку набуває хвиля вздовж відрізкадорівнює:

(1.2.6)

функція може бути отримана з рівняння круга. Одним з розв’язків цього рівняння є:

(1.2.7)

Відповідно різниця фаз описується виразом:

(1.2.8)

де фокусна відстань лінзи.

Отже, враховуючи те, що тонка збираюча лінза не модулює амплітуди хвилі, її можна розглядати як транспарант з пропусканням:

(1.2.9)

1.3. Математичні основи аналогових оптичних процесорів

1.3.1. Перетворення Фур’є

Під перетворенням Фур’є, або фур’є-образом будемо розуміти вираз:

;

. (1.3.1)

Під оберненим перетворенням Фур’є, розуміємо вираз:

;

. (1.3.2)

Наведемо деякі приклади Фур’є-перетворення:

Таблиця 1

Функція	Фур’є-образ
	1
1

1.3.2. Деякі властивості перетворення Фур’є

Властивості перетворення Фур’є будемо розглядати для одновимірного випадку.

1.3.2.1. Теорема зсуву

Дамо відповідь на питання – чому дорівнює перетворення Фур’є від функції . За визначенням перетворення Фур’є від такої функції дорівнює:

, або після заміни ;

, або

. (1.3.3)

Із (1.3.3) випливає, що , тобто величинане залежить від.

1.3.2.2. Теорема масштабу

Дамо відповідь на питання – чому дорівнює перетворення Фур’є від функції . За визначенням перетворення Фур’є від такої функції дорівнює:

, або після заміни ,

(1.3.4)

1.3.3. Згортка і кореляція

Згортка і кореляція двох функцій івизначаються виразами

та (1.3.5)

відповідно (1.3.6)

Зауважимо, якщо – дійсні та парні функції, то різниці між згорткою та кореляцією немає. Дійсно, в цьому випадкута.

Величину називаютькоефіцієнтом кореляції. Якщо , тоназиваютьавтокореляцією функції . Величинадорівнює максимуму функції автокореляції.

На закінчення цього пункту наведемо важливе співвідношення:

(1.3.7)

1.3.3.1. Геометричне тлумачення згортки і кореляції

Геометричний зміст згортки і кореляції дійсних функцій можна зрозуміти з рисунка 1.3.1. Фактично згортка є площею взаємного перекриття функцій і. На рис. 1.3.1,б зображена автокореляційна функція прямокутного імпульсу шириною .

Як бачимо, ширина автокореляційної функції вдвічі більше, ніж ширина самого імпульсу. Це загальний наслідок і стосується автокореляційної функції будь-якого типу.

З

а б

Рис. 1.3.1

ауважимо, що у випадку, коли, особливо коли корелюють сигнали, які сильно відрізняються, максимум кореляційної функції, як правило, значно менше, ніж коефіцієнт автокореляції. Отже, коефіцієнти кореляцій можна розглядати як міру подібності двох функцій, полів, сигналів, а кореляційний критерій доцільно покласти в основу розробки пристроїв розпізнавання сигналів. Такі пристрої отримали назву кореляторів або конвольверів.