методика математики

1. Міжпредметні зв’язки математики. Завдання математики.

Математика зустрічається і використовується у повсякденному житті, одже,певні математичні навички потрібні кожній людині. Чи не правда, нам доводиться в житті вважати (наприклад, гроші), ми постійно використовуємо (часто не помічаючи цього) знання про величини, що характеризують протяжності, площі, обсяги, проміжки часу, швидкості і багато чого іншого. Все це прийшло до нас на уроках арифметики і геометрії, і згодяться для орієнтації в навколишньому світі.

Математика потрібна дітям для формування духовного обличчя, розвитку необхідних рис характеру (терпіння, працьовитості). Дівчинка може враховувати те, що математика допоможе їй бути хорошою мамою (допомагати своїм дітям, вести з ними розвиваючу роботу). Кому-то заняття цією наукою додає впевненості в собі, хтось радий, що дізнається про цікавих людей (наприклад, про Архімеда). Деяким математика приємна як наука, більшість усвідомлює її необхідність у майбутній професії.

Математичні знання і навички необхідні практично у всіх професіях. Перш за все, звичайно, в тих, що пов'язані з природничими науками, технікою та економікою. Математика є мовою природознавства і техніки і тому професія натураліста й інженера вимагає серйозного опанування багатьма професійними відомостями, заснованими на математиці. Дуже добре сказав про це Галілей: `` Філософія [мова йде про натурфілософії, на нашому сучасній мові - про фізику] написана у величній книзі, яка постійно відкрита вашому погляду, але зрозуміти її може лише той, хто спочатку навчиться розуміти її мову і тлумачити знаки, якими вона написана. Написано ж вона на мові математики.''Але нині незаперечна необхідність застосування математичних знань і математичного мислення лікаря, лінгвістові, історику, і важко обірвати цей список, настільки важливо математичну освіту для професійної діяльності в наш час. Отже, математика і математична освіта потрібні для підготовки до майбутньої професії. Для цього необхідні знання з алгебри, математичного аналізу, теорії ймовірності та статистики.

Ще однією найважливішою причиною потреби людства в математиці є виховання в людині здатності розуміти сенс поставленої перед ним завдання, вміння правильно, логічно міркувати, засвоїти навички алгоритмічного мислення. Кожному треба навчитися аналізувати, відрізняти гіпотезу від факту, критикувати, розуміти сенс поставленого завдання, схематизувати, чітко висловлювати свої думки і т. п., а з іншого боку - розвинути уяву та інтуїцію (просторове уявлення, здатність передбачати результат і угадати шлях рішення і т. д.). Інакше кажучи, математика потрібна для інтелектуального розвитку особистості. У 1267 році знаменитий англійський філософ Роджер Бекон сказав: `` Хто не знає математики, не може дізнатися ніякої іншої науки і навіть не може знайти свого невігластва. "

Воєнна безпека, економічна і технологічна незалежність країни залежать від математичної грамотності її громадян, причому основної маси, а не елітної групи. Важко переоцінити важливість математики, математичної освіченості та математичної культури в сучасному світі. Вся сучасна наука пронизана математичними методами і математичними ідеями.

Погане математичну освіту порушує основні права громадянина, зокрема право на вільний вибір професії. Людьми, які не знають, що таке математичне доказ, математичне міркування, легко маніпулюють безсоромні політики, а також фінансові ділки і кримінальні авторитети через контрольовані ними ЗМІ. Математично неосвічені люди готові покірно слідувати за будь-яким лжепророком, з захопленням слухають біснуватим ясновидцем і малограмотним астрологів. Математично малограмотні керівники держав, великих промислових та фінансових корпорацій, оточені недостатньо математично освіченими радниками і консультантами, представляють сьогодні величезну небезпеку для людства. Вони не здатні системно мислити, не можуть прорахувати навіть найближчі наслідки своїх дій, які все частіше і частіше призводять до військових конфліктів, економічних криз, фінансових потрясінь, екологічним і гуманітарних катастроф, дуже швидко втрачає локальний характер.

Математичне моделювання має стати обов'язковим етапом, що передує прийняттю будь-якого відповідального рішення. Досягнення радянсько-російської математичної науки і математичної освіти загальновідомі і загальновизнані. Саме вони стали основою багатьох реальних успіхів Росії радянського періоду. Російська математична школа зробила серйозний вплив і на розвиток світової науки і освіти у другій половині ХХ століття. Її учнів можна зустріти у всіх скільки-небудь великих наукових центрах планети. Але сьогодні ми з гіркотою спостерігаємо значне зниження математичної освіченості нашого суспільства, падіння його математичної культури. Численні так звані інновації руйнують традиції російської освіти, пропонуючи як орієнтири гірші західні зразки. Економічна розруха, що стала основною ознакою відбуваються в нашій країні реформ, відсунула проблеми освіти на останнє місце. У самій же системі освіти в найважчому становищі опинилася саме математика, як предмет, погано відповідний ринкової ідеології. Останнім часом йде постійне скорочення годин на математичні предмети, зменшення і спрощення програм. Практично не видається сучасна наукова література з математики, без якої неможливо виховання фахівців вищої кваліфікації. Триваюча еміграція і полуеміграція провідних вчених і викладачів, а тепер і кращих учнів значно прискорюють цей процес розпаду.

Стурбованість станом математичної освіти в Росії висловлюють сьогодні багато закордонних учених. Російське математичну освіту було і все ще. Залишається зразком для всього світу, і його руйнування може стати початком руйнування математичної освіти всього цивілізованого людства.

Математика - це феномен загальносвітової культури, в ній відображена історія розвитку людської думки. Руйнуючи математику, математичну освіту, ми руйнуємо загальнолюдську культуру, знищуємо історію людства. Загальна комп'ютеризація не тільки не зменшила важливість математичної освіти, але й, навпаки, поставила перед ним нові завдання. Зниження рівня математичної освіченості та математичної культури суспільства може перетворити людину з господаря комп'ютера в його прислугу і навіть раба.

У процесі пізнання дійсності математика відіграє дедалі зростаючу роль. Сьогодні немає такої галузі знань, де в тій чи іншій мірі не використовувалися б математичні поняття і методи. Проблеми, вирішення яких раніше вважалося неможливим, успішно вирішуються завдяки застосуванню математики, тим самим розширюються можливості наукового пізнання. Сучасна математика об'єднує досить різні області знання в єдину систему. Цей процес синтезу наук, здійснюваний на лоні математизації, знаходить своє відображення і в динаміці понятійного апарату. Щоб людство розвивалося, причому розвивалося плідно, потрібні не тільки «кращі уми», але і свіжі ідеї. А для цього необхідні креативні люди з незвичайним мислення, широким кругозором, гнучким розумом. Щоб все це було в людині, потрібно щоб він удосконалював себе. Математика змушує нас думати, аналізувати. У процесі пошуку інформації для приготованого мною повідомлення я знайшла один цікавий сайт. На ньому люди різного віку, освіти, світогляду ділилися своїми думками про математику, а саме: залишали свої голоси за і проти математики, за любов чи ненависть по відношенню до неї. Ось що написав один із учасників обговорення: «У математиці немає неправди. Всі формули і теореми мають суворе доказ. Математика розвиває здатність до логічного мислення, що дозволяє людині жити цікаво і ніколи не нудьгувати. Прочитав масу підручників з вищої математики. Завдяки вивченню вищої математики набувається філософський аналітичний розум і здатність до самостійного мислення ». Висновок з цього можна зробити такий: для розвитку цивілізації необхідний розвиток людського інтелекту. Це можливо завдяки «філософського аналітичному розуму і здатності до самостійного мислення», що досягається в результаті «розминки мозку».

Всі ми добре розуміємо важливість фізкультури для повнокровного життя кожної людини, важливість тренування тіла. Настільки ж необхідна (навряд чи хтось буде сперечатися) фізкультура мозку, тренування розуму. І всі ми знаємо, наскільки багаті можливості для цього дає математика. (Не тільки вона, тренують мозок і заняття з комп'ютерами, і, скажімо, вивчення мов, але, як мені здається, все ж краще за все для цього пристосована саме математика.)

Положення математики в сучасному світі далеко не те, яким воно було сто чи навіть тільки сорок років тому. Математика перетворилася на повсякденне знаряддя дослідження у фізиці, астрономії, біології, інженерній справі, організації виробництва і багатьох інших галузях теоретичної і прикладної діяльності. Багато великих лікарі, економісти та фахівці в області соціальних досліджень вважають, що подальший прогрес дисциплін, що їх тісно пов'язаний з більш широким і повнокровним використанням математичних методів, ніж це було до цього часу. Не дарма грецькі вчені говорили, що математика є ключ до всіх наук.

Звичайно ж, вищесказане ще раз доводить те, як математика важлива не просто сама по собі, а як її потребують інші науки, спираються на математичні факти і, тим самим, допомагають розвиватися людству все далі і далі!

Математика завжди була невід'ємною і существеннейшей складовою частиною людської культури, вона є ключем до пізнання навколишнього світу, базою науково-технічного прогресу і важливою компонентою розвитку особистості.

Математика містить у собі риси вольової діяльності, умоглядного міркування і прагнення до естетичної досконалості. Її основні і взаємно протилежні елементи - логіка й інтуїція, аналіз і конструкція, спільність і конкретність.

Ми розглянули вже багато причин, по яких математика вважається навіть не однією з, а найважливішою наукою. Спробуємо тепер привести ще ряд фактів, які доводять це. Вони є простими, з ними стикається будь-яка людина, причому щодня.

Методика викладання математики—педагогічна наука про мету, зміст, методи, форми і засоби передачі учням математичних знань, про виховання в процесі навчання.

Початкова школа — перша ланка середньої загальноосвітньої школи. Вимоги, що стоять перед школою в цілому, визначають основні напрямки роботи її початкової ланки, а отже, і навчальний план. Математика — один з обов'язкових предметів початкових класів. І це не випадково. Визнання математики обов'язковим навчальним предметом загальноосвітньої ніколи безпосередньо пов'язане з її роллю в науково-практичній діяльності людства. «Красунею» на­зивали математику стародавні індуси, а стародавні греки проголосили її «гімнастикою розуму».

В II ст. до н. е. римляни розробили систему навчальних предметів, в яку входили граматика, риторика, діалектика, арифметика, геометрія, астрономія та музика. Ці «сім вільних мистецтв» були основою навчальних планів і в середні віки.

З розвитком науки, культури і техніки значення математики зростає як в науково-практичній діяльності людства, так і в навчанні та вихованні молоді. Математика повсюдно стає обов'язковим предметом загальноосвітніх шкіл.

Значення математики як науки і навчального предмета підкреслювали генії людства. «Ніякі людські дослідження не можна назвати справжньою наукою, якщо вони не пройшли через математичні доведення», — говорив Леонардо да Вінчі (1452—1519). Роки не стерли з пам'яті цей вислів. Нині він став ще актуальнішим. Застосування математики вийшло за рамки технічних наук, її методи проникли в біологію, медицину, суспільні науки.

У крилатому вислові М.Б. Ломоносова (1711—1765) «А математику ще й тому вивчати слід, що вона розум до ладу приводить» — чітко вказується на роль вивчення математики для розвитку мислення людини.

Д.І. Писарєв (1840—1868) підкреслював виховне значення вивчення математики: «Математика не тільки підготує учня до вивчення природничих наук; вона не тільки навчить його мислити правильно і послідовно; вона ще, крім того, виховає з нього безстрашного працівника, для якого праця і нудьга стають двома поняттями, що взаємно виключаються одне одним».

Розвитку математики і математичної освіти в нашій країні приділяється велика увага. У школі на вивчення математики відводиться 15 — 20% навчального часу. Мільйони молодших школярів вивчають початки математики під керівництвом класовода. І важко уявити, скільки дітей може не зрозуміти і незлюбити математику вже на початку свого життя, якщо випаде доля почати свої кроки з несумлінним учителем або з учителем, який не знає основних положень педагогіки математики.

Методика викладання математики як окрема педагогічна наука зароджувалася в працях педагогів. Ще Ян Амос Коменський (1592— 1670) у праці «Велика дидактика», висвітлюючи загальні дидактичні вимоги та правила, багато уваги приділяв вивченню арифметики. Йоганн Генріх Песталоцці (1746 —1827), швейцарський теоретик і практик педагогіки, основоположник дидактики початкового навчання, у своїх творах поряд із загальнопедагогічними проблема­ми розробляв питання методики початкового навчання дітей арифметики. К.Д. Ушинський (1824 —1870) в «Руководстве к преподаванию по «Родному слову» на кількох глибоких за змістом сторінках розглядає методику початкового навчання лічби.

У ході розвитку педагогічних досліджень методику викладання арифметики стали розробляти як особливу науку. В її становленні велику роль відіграли праці П.С. Гур'єва (1807 — 1884). У кінці ХIХ століття з'являються праці методистів-математиків О.І. Гольденберга (1837—1902), В.О. Латишева (1850 — 1912), С.І. Шохор-Троцького (1858 —1923).

Педагогіка навчання—це насамперед наука про найбільш точну й досконалу форму розумової праці в процесі засвоєння знань, причому кожна з методик має свій предмет, свою специфіку. Предметом методики викладання математики в початкових класах є навчання математики молодших школярів учителем-класоводом в умовах класно-урочної системи. Основними поняттями методики навчання математики в початкових класах як науки є мета, зміст, методи, засоби та форми початкового навчання математики.

Викладання математики визначає мету навчання молодших школярів математики. Розрізняють загальноосвітні, практичні та виховні цілі. Вони повинні розглядатися з позиції єдиного шкільного курсу математики. Методика визначає зміст і структуру початкового курсу математики. Всебічне їх розкриття подається в програмі і шкільних підручниках. У програмі зазначається, який матеріал вивчається в початкових класах і в якій послідовності, на якому рівні узагальнення розглядається кожне питання. У підручнику зміст навчання конкретизується повідомленням теоретичного матеріалу та системою вправ і задач.

Важливим завданням методики є створення та перевірка ефективності засобів навчання: підручників, зошитів з друкованою основою, карток з математичними завданнями, альбомів, таблиць, роздаткового матеріалу, діафільмів, їх застосовують за розробленою методикою. Специфічним завданням методики викладання математики є розкриття методів і прийомів вивчення кожного питання з кожного розділу: теоретичного матеріалу, формування умінь і навичок, методики роботи над задачами.

У методиці розкриваються також питання організації навчальної діяльності дітей: в яких випадках доцільна фронтально-колективна, самостійно-індивідуальна чи групова форма роботи; як організувати ту чи іншу форму навчання; як забезпечити диференційований підхід до дітей у навчанні. Ці та подібні їм питання є компетенцією методики викладання математики.

Завданням методики є також дослідження процесу засвоєння знань учнями та визначення результативності навчання математики. Вчителя треба озброїти знаннями про те, які можливості у навчанні дітей різних вікових груп, які відмінності в засвоєнні математичних знань учнів однієї вікової групи. Потрібно розробити систему контролю рівня знань учнів та стану їх математичного розвитку.

Методика викладання математики розробляє поради щодо розумового розвитку учнів; виховання в дітей патріотизму, інтересу до вивчення математики, позитивних рис характеру.є

Завданням методики викладання математики в старших групах є:

• обґрунтування мети початкового вивчення математики—для чого треба вчити математику;

• визначення змісту навчання математики—чого вчити;

• розробка засобів навчання (підручники, дидактичний матеріал, наочні посібники, технічні засоби) —за допомогою чого вчити;

• визначення й розробка методів і прийомів вивчення кожного питання розділів програми—як вчити;

• організація навчання (проведення уроку і позаурочних форм навчання) —як організувати пізнавальну діяльність учнів;

• дослідження процесу засвоєння математичних знань учнями — як вчаться діти;

• вивчення результатів засвоєння математичних знань учнями — чого навчилися діти, як вони розвинулися;

• виявлення можливостей виховного й розвивального впливу на молодших школярів у процесі вивчення математики та розробка методів і засобів реалізації такого впливу — що і як розвивати у дітей на уроках математики, як здійснювати виховний процес під час вивчення математики.

Методика початкового навчання математики та інші науки

Методика початкового навчання математики належить до педагогічних наук: вона враховує закони і правила логіки, закономірності психології, положення дидактики, рекомендації загальної методики математики.

Методика і логіка. Логіка визначає правила міркувань: як людина повинна мислити, щоб від правильних посилок прийти до правильних висновків. Закони і правила логіки методика використовує в процесі аналізу та структурування навчального матеріалу, формулювання означень математичних понять, встановлення зв'язків між поняттями, відшукання шляхів розв'язування задач. Методика визначає також, які логічні знання й уміння потрібні учням для свідомого засвоєння математичних знань. Розвиток логічного мислення учнів є одним із завдань викладання математики в школі.

Сам учитель повинен знати, що таке поняття, означення, доведення, класифікація; які існують види означень, методи доведення, правила класифікації. А все це—логічні категорії.

Можна сказати, що без логіки немає і навчання. Але вирішальним у навчанні є вплив психолого-педагогічних чинників. Без них логіка не вчить, тобто не проникає в свідомість учнів.

Методика і психологія. Психологія навчання вивчає закономірності психіки дитини, а також вікові та індивідуальні особливості дітей, які проявляються в процесі засвоєння знань. Діяльність учителя на заняттях з учнями так чи інакше включає вплив на їхню психіку: на відчуття, сприймання, пам'ять, мислення, емоції, почуття і волю; на характер, здібності і на особистість загалом. Отже, вчитель має знати особливості розвитку психічних процесів молодших школярів і вміти створювати в учнів оптимальний психічний стан для конкретного виду навчальної діяльності.

У навчанні насамперед треба активізувати мислення учнів. Саме психолог аналізує, як мислить учень. Вивчаючи мислительні операції; які здійснюють учні в процесі навчання, психологи розчленовують багато з тих понять і операцій, які методисти розглядають як цілісні. Це допомагає в розкритті процесу мислення учнів, вивченні його сильних і слабких сторін.

У навчально-виховній роботі велике значення мають закономірності випереджаючого відображення. Учень повинен передбачати результати своїх вчинків і дій.

Слід сказати, що методисти-математики не тільки використовують дані, здобуті психологією навчання, а й самостійно вивчають процес засвоєння математичних знань учнями та його результати.

Методика і дидактика. Дидактика розробляє принципи навчання, форми організації навчальної роботи, методи навчання. Методика математики враховує дані дидактики, але в їх використанні відображає особливості своєї науки. Принципи навчання діють на всіх ступенях навчання з усіх предметів. Але в рамках навчального предмета деякі з них набувають специфічності. Це стосується, зокрема, принципу наочності, зв'язку теорії з практикою. Методика математики «вибирає» з дидактики потрібні методи, аналізує доцільність їх застосування і розробляє зразки застосування. Великої конкретності набуває урок в розробках методистів-математиків. У кожному з компонентів уроку математики відчутні загальні положення дидактики. Дидактика в свою чергу збагачується педагогічними фактами, які виявляють вчителі чи методисти-дослідники в процесі навчання молодших школярів математики.

Методика і математика. Основою курсу математики початкових класів є лічба, нумерація і чотири арифметичні дії над цілими невід’ємними числами. Одна з особливостей арифметики полягає в тому, що багато з її положень хоч і важкі для доведення, але легко відкриваються спостереженням числових виразів. Вони відмінні від спостережень тих об'єктів, що безпосередньо впливають на органи чуття. Отже, виникає завдання розвивати в дітей спостережливість в галузі арифметики, а також уміння використовувати такі спостереження для індуктивних висновків.

Зміст арифметики містить також багато матеріалів для дедуктивних міркувань. Це, зокрема, стосується застосування властивостей арифметичних дій для обгрунтування прийомів обчислень, врахування залежностей між величинами під час розв'язування задач.

На методику викладання впливає не тільки зміст математики як навчального предмета, а й теоретичні положення математичної науки, що стосуються основ математики, її методології. Методика математики в своєму розвитку спирається, як і математика, на теорію пізнання. Для правильного розв'язання методичних проблем потрібно певною мірою враховувати ті етапи, які пройшла в своєму істо­ричному розвитку математика як наука.

Основні математичні положення здобуті з дійсного світу за допомогою абстракції. У науці вони дістають самостійний логічний розвиток, а потім знову знаходять застосування в трудовій діяльності людей. Цей процес знаходить певне відображення і в методиці викладання математики. УЧНЯМ треба показувати застосування математики в житті, в трудовій діяльності людини; тренувати в застосуванні математичних знань для виконання обчислювальних, розра­хункових, графічних і вимірювальних робіт. Цим підвищується інтерес школярів до вивчення математики, закладаються основи правильного розуміння значення математики в житті людей.

2. Методика викладання арифметики.

У методиці викладання алгебри відомі дві евристичні схеми пошуку рівняння до задачі.

Перша застосовується до розв'язування нескладних задач і має такий вигляд:

1) позначити через х шукану величину (або одну з шуканих);

2) виразити через х інші величини, про які йдеться в змісті задачі;

3) спираючись на залежність між відомими і невідомими величинами, скласти рівняння.

Друга евристична схема зручна для розв'язування складних задач:

1) з'ясувати, виходячи зі змісту задачі, значення яких величин можна прирівняти;

2) вибрати невідому і позначити її буквою х;

3) виразити через х значення величин, які прирівнюватимуться;

4) скласти рівняння.

Друга евристична схема забезпечує цілеспрямований вибір невідомої і вираження через неї потрібних величин.

На першому, підготовчому етапі навчання учнів методу рівнянь потрібно нагадати всі види основних задач, які розв'язуються кожною арифметичною дією, їх буквений запис, сформувати навички складання простих виразів з невідомою. Далі розв'язуються усно найпростіші задачі на складання рівнянь за умовою задачі.

Важливо домогтися усвідомлення учнями того, що словосполучення «на стільки-то більше» вимагає іноді дій додавання, а інколи - віднімання залежно від того, якої з двох величин воно стосується. Аналогічно із словосполученням «а в стільки-то разів більше за Ь». Досвід показує, що деякі учні не реагують на слова «сума», «додано», «всього» в умові задач. Тому на першому етапі треба спеціально виділяти слова, які містять інформацію для складання рівняння.

Існують різноманітні організаційні форми щодо розв'язування задач. На уроці можливі колективне фронтально розв'язування задач, колективна робота окремих груп і самостійне розв'язування.

Готуючись до колективної фронтальної роботи, яка проводиться інколи методом евристичної бесіди, треба продумати і записати в конспекти систему запитань, що стосуються пошуку розв'язання. Серед них варто на прості запитання пропонувати відповідати слабкішим учням, щоб і їх залучити до процесу пошуку способу розв'язання задачі. Іноді спосіб розв'язання знаходять сильні учні, а реалізацію його на дошці доцільно запропонувати середньому чи слабкому учневі. Не можна допускати, щоб учні механічно переписували розв'язання задачі з дошки, не усвідомивши способу. Тому в процесі оформлення розв'язання можна пропонувати окремим учням пояснити, чому виконується та чи інша дія або яким має бути наступний крок розв'язання?

За групової форми організації розв'язування задач на уроці вчитель повинен підготувати для кожної групи набір задач відповідно до здібностей учнів групи і під час уроку контролювати діяльність кожної групи і надавати допомогу тій, яка більше и потребує. Інколи варто спеціально провести консультацію (3-5 хв), в якій активну участь братимуть сильніші учні, а не лише вчитель.

Можливі різні форми організації самостійного розв'язування учнями задач на уроці. Це - самостійні роботи здебільшого навчального характеру, але інколи потрібні і контролюючого. Самостійні роботи можуть тривати цілий урок, але частіше - частину уроку. Залежно від мети такі роботи можуть проводитись на початку, в середині і наприкінці уроку. Якщо вчитель хоче перевірити стан виконання домашнього завдання і надати допомогу тим, хто не встигає, він може запропонувати задачу або вправи, аналогічні домашнім. Коли опановувається певний тип задач, самостійну роботу можна запропонувати в середині і наприкінці уроку. Для ефективної і оперативної перевірки таких робіт можна запропонувати двом-трьом учням оформити розв'язання на плівці і спроектувати його на екран через графопроектор. інколи два учні розв'язують задачу на відкидних дошках, і відразу по закінченні допущені помилки виправляються. Можлива и усна фрон­тальна перевірка за етапами розв'язання задач і вправ.