49.Постулати і принципи квантової механіки. Хвильова функція. Рівняння Шредінгера. Властивості стаціонарних станів. Частинка в потенціальній ямі.
Перша спроба побудови не класичної моделі атома, відповідно до планетарної моделі Резерфорда, була зроблена Н.Бором відносно водне подібних атомів в 1913 році. Основними положеннями якої є наступне.
1. Постулат стаціонарних станів: існують стаціонарні стани атома, знаходячись на яких, електрон не випромінює і не поглинає енергію.
2.
Правило квантування орбіти:
у стаціонарному стані електрон рухається
по круговій орбіті з дискретним значенням
величини моменту імпульсу
,
який складається з цілого числа величин
.
(1)
В
(1) m ¾ маса електрона,
¾
швидкість
електрона на n-ій орбіті з радіусом
,
¾
стала Планка.
3.
Правило частот:
перехід атома з одного стаціонарного
стану з енергією
у
збуджений стан із більшою енергією
,
cупроводжується поглинанням енергії
.
Перехід атома зі збудженого стану в
основний супроводжується випромінюванням
електромагнітної хвилі з частотою, яка
визначається рівнянням
.
(2)
Атом
поглинає електромагнітні хвилі лише
коли їх частота
задовольняє
умові
.
(3)
Експеримент
показує, що перехід електрона з одного
стаціонарного стану на інший триває
коло
с.
Рівняння Шредінгера мас бути хвильовим подібно до рівнянь для електромагнітних або звукових хвиль. Як відомо, хвильові рівняння являють собою диференціальні рівняння з частинними похідними (незалежними змінними є координати і час) відповідної функції. Для звукових хвиль такою функцією є тиск, для електромагнітних — напруженість електричного або магнітного полів. У нашому випадку необхідно ввести функцію іншої природи, яка на перший погляд t більш абстрактною, ніж такі величини, як напруженість електричного чи магнітного полів. Цю функцію називають хвильовою і позначають символом ψ(псі-функція).
Таким чином, квантова механіка має статистичний характер, і за допомогою хвильової функції ψ визначається тільки ймовірність виявлення мікрочастинки в різних точках простору. Функція ψ має задовольняти умову нормування
Рівняння Шредінгера для руху частинок у вільному просторі, в якому відсутні силові поля, має вигляд
де
-
маса частинки;
-
оператор Лапласа.
Для випадку руху частинок у потенціальних силових полях рівняння Шредінгера має вигляд
Рівняння Шредінгера для виконання принципу суперпозиції є лінійним і однорідним відносно функції ψ.
Принцип суперпозиції у квантовій механіці відіграє більш фундаментальну роль, ніж в електродинаміці. Він виражає саму можливість квантово-механічного опису та можливість фізичної інтерпретації результатів квантової механіки.
Особливе значення у квантовій механіці мають стаціонарні стани, за яких усі спостережувані фізичні параметри не змінюються з часом. Сама функція ψ до таких параметрів не належить. Не повинні змінюватися з часом тільки фізично спостережувані величини, які можуть бути утворені з ψ за правилами квантової механіки.
Хвильову функцію будь-якого стаціонарного стану однієї частинки можна подати в такому вигляді:
для енергії в стаціонарному стані одержимо рівняння
У рівняння (12.17) час не входить, і воно називається рівнянням Шредінгера для стаціонарних станів. Відносно потенціальної функції U(r), щовходить у рівняння (12.17), повністю залишаються ті ж зауваження, які були зроблені для рівняння (12.15). Функція U(r) визначається так, наче ніяких хвильових властивостей частинка не має.
Рівняння Шредінгера подібно до законів Ньютона в механіці - це не результат теоретичних висновків, а узагальнення великої кількості експериментальних даних, одержаних при вивченні мікросвіту. Справедливість рівняння Шредінгера підтверджується спільними з експериментальними даними висновками, зробленими під час його розв'язування в конкретних задачах.
Частинка в нескінченно глибокій одновимірній потенціальній ямі
Розглянемо застосування рівняння Шредінгера до розв'язування задач, які деякою мірою наближено моделюють рух електрона в атомі, коливання атомів у молекулах та ін. Нехай частинка рухається в нескінченно глибокій потенціальній ямі. Графічно такий випадок можна подати за допомогою рис. 12.4, де зображено залежність потенціальної функції и(х).Для одновимірної задачі стаціонарне рівняння Шредінгера (12.17) матиме вигляд
Тоді розв'язок (12.19) можна записати у вигляді
Число n, яке визначає вигляд хвильової функції і енергію частинки в стані, якому відповідає ця хвильова функція, називається головним квантовим числом системи.
Формула (12.24) показує, що існує деяка мінімальна, не рівна нулю енергія
яка відповідає основному стану руху частинок. Хвильова функція цього стану
у жодній точці всередині ями в нуль не перетворюється. Ця властивість хвильової функції основного стану має загальний характер, а саме: хвильова функція основного стану не перетворюється в нуль всередині області, що розглядається, може перетворюватись в нуль тільки на її межах.
Педагогічна діяльність і можливості вивчення фундаментальних експериментів з фізики.