OVM_funkcii

Упражнения 5.1

1.Сколько первообразных имеет функция y = x3 + 3?

2.Какую замену переменной можно сделать для вычис-

3. Какую из функций следует принять за u, а какую за dv для нахождения интеграла c помощью интегрирования

по частям (объясните свой выбор):

а) ∫(x2 + 3)sin(x)dx, б) ∫xln(x)dx, в) ∫xexdx ?

4.Найти неопределенный интеграл a) ∫sin(2x)dx, б) ∫e3x + 1dx.

5.Выразите первообразную F(x) функции f(x) через ее про-

4. Для какой из следующих основных элементарных функ-

ций выполняется условие f(x) = f'(x) = F(x): а) f(x) = sin(x);

б) f(x) = x; в) f(x) = 1; г) f(x) = 1 / x; д) f(x) = ex.

107

5. Поставьте в соответствие интегралам a)-д) правила по которым их, с вашей точки зрения, можно найти наилучшим способом 1)-5).

5.2. Определенный интеграл

Пусть функция f(x) не изменяет знак на отрезке [a, b]. Фигура, ограниченная графиком функции f(x), прямыми х = a,

х = b и осью абсцисс, называется криволинейной трапецией

(Рис.1 Фигура ABCD).

Рис. 1. Геометрический смысл определенного интеграла

Вычислим площадь криволинейной трапеции. Разделим отрезок [a, b] на n равных частей точками х1, х2, ... , хn – 1. Положим x0 = a и xn = b. Найдем длину каждого отрезка ∆хi = ∆х =(b – a) / n , i = 1,2, ... , n. Проведем через точки прямые х1, х2, ... , хn – 1, параллельные оси OX. На каждом отрезке ∆хi, i = 1,2 ,..., n построим прямоугольник, высота которого равна f(хi), i = 1,2, ..., n. Тогда площадь каждого прямоугольника равна Si = f(хi)∆хi = f(хi)∆х, i = 1,2, ..., n. Площадь криво-

108

линейной трапеции ABCD приближенно равна сумме площадей всех прямоугольников:

=1

Выражение в правой части равенства называется интеграль-

ной суммой.

Если увеличить число отрезков n, на которые мы делим [a, b], то можно получить более точное значение площади трапеции ABCD. Если существует предел интегральной суммы при n → ∞, то этот предел является площадью криволи-

нейной трапеции ABCD:

lim ( ) = .

→∞

=1

Определенным интегралом от функции f(х) на отрезке

[а, b] (или в пределах от а до b) называется предел интегральной суммы:

где а – нижний предел интегрирования, b – верхний предел интегрирования.

Теорема существования определенного интеграла. Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка [a, b] на элементарные отрезки.

Основные свойства определенного интеграла.

2.= 0.

109

Теорема Ньютона – Лейбница. Если F(x) – первообразная функции f(х), непрерывной на отрезке [а, b], то

1. Вычислить определенный интеграл: xdx.

2.Вычислить площадь фигуры, ограниченную параболой

= 2 и прямыми x = 1 и x = 3.

Решение. На рисунке 2.а изображена криволинейная трапеция, ограниченную кривой = 2 и прямыми x = 1 и x = 3, площадь которой есть определенный интеграл

3

x2dx = 13 3 31 = 13 33 − 13 13 = 8 23 .

1

110

Решение. Для наглядности построим графики функций

Площадь криволинейной трапеции, ограниченную кривыми = 2 и прямыми x = 0 и x = 1(на рисунке 2.б фигура серого цвета), найдем с помощью интеграла

Площадь искомой криволинейной трапеции будет равна разности полученных значений, т.е. 23 − 13 = 13.

Упражнения 5.2

111

в) средней скорости материальной точкой на отрезке времени [a,b], ускорение которой на этом отрезке определяется функцией y=f(x).

3. Чему равен определенный интеграл −11 2 :а) 0, б)1, в)

2, г) –1, д) x.

4. Площадь фигуры, ограниченная прямыми y=0, y=2x, x=–1, x=1, равна:

а) 0, б)1, в) 2, г) 3, д) 4.

5.Поставить в соответствие математическому понятию (а)

–(в) конструкцию которая его определяет:

17. Найти площадь криволинейной трапеции, которая ограничена кривой y=f(x) осью OX и прямыми x=a, x=b: а)

y=4x3+2, x=1, x=2, б) y= 1 , x=0, x= .

2( ) 4

113

18. Найти площадь фигуры ограниченную а) кривыми y=–x2 +4 и y=x2 –4,

б) кривой y=x2 и прямой y=4,

в) кривой y=–x2 +4 и прямой y=4. Построить эти фигуры.

джонс

114