OVM_funkcii

4.Основы теории функций

4.1.Функция действительного переменного

Действительными (или вещественными) числами называются рациональные и иррациональные числа. Множество всех действительных чисел обозначается буквой R. Каждое действительное число может быть изображено точкой на числовой прямой.

Пусть даны два непустых множества X и Y R. Если каждому элементу х из множества X по определенному правилу f ставится в соответствие один и только один элемент у из Y, то говорят, что на множестве X задана функция (или отображение) со множеством значений Y, что моно записать как f: X → Y или y = f(x). Элемент х называется аргументом фун-

кции y = f(x), множество X – областью определения функции,

обозначаемой D(f), множество Y, состоящее из всех чисел ви-

да y = f(x), – областью значений функции, обозначаемой E(f).

Графиком функции y = f(x) называется множество точек плоскости OXY с координатами (x, f(x)), где x D(f).

Основными элементарными функциями являются следую-

щие функции:

1) степенная функция у = хa, где a R, область определе-

2) показательная функция у = ax, где а – любое положи-

тельное число, отличное от единицы: а > 0, а ≠ 1; x R.

Экспоненциальная функция у = ex, где иррациональное чис-

ло e=2,71828… известное как Неперово число, представляет собой частный случай показательной функции (рис. 2);

3) логарифмическая функция y = logax, где а – любое поло-

жительное число, отличное от единицы: а > 0, а ≠ 1; x > 0. Частным случаем логарифмической функции является

функция натурального логарифма у = ln(x) = logex (рис. 3);

67

Рис.1. Примеры степенной функции

68

Рис. 4. Тригонометрические функции

69

Рис. 5. Обратные тригонометрические функции

Элементарными функциями называются функции, получающиеся из основных элементарных функций с помощью четырех арифметических действий: сложения, вычитания, умножения, деления; и композиций функций (суперпозиций).

Композиция функций (суперпозиция функции) – это фор-

мирование сложных функций, путем применения одной функции к результату другой y = f(φ(x)).

Примеры:

1. Элементарные функции:

y = x2 + ln(x) – функция получена сложением двух простейших элементарных функций f1(x) = x2 и f2(x) = ln(x);

y = ln(x2) – функция получена путем композиции двух простейших элементарных функций y = f1(z) = ln(z) и z = f2(x) = x2; y = cos(ln4(x))) – функция получена путем композиции трех

простейших элементарных функций у = f1(z) = cos(z), z = f2(t) = t4 и t = f3(x) = ln(x).

2. Неэлементарные функции:

= = max{ , ≤ } – целая часть x – «пол»: равна наибольшему целому числу, меньшему x (рис. 6);

Геометрически модуль x равен расстоянию на числовой прямой от точки с координатой х до начала отсчета (рис. 7).

Функции целая часть от x и модуль x невозможно получить из основных элементарных функций с помощью четырех арифметических действий или композицией функций.

3.Найти область определения функции f(x)= −3 2.

3 +5

Поскольку деление на 0 не допустимо, то (3x + 5)2 ≠ 0, т.е. x ≠ –5 3. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая за исключением x = −5 3:

= 53 .

Функция f(x), называется четной, если для любого значения x D(f) выполняется: f(– x) = f(x). Функция f(x), называется нечетной, если для любого значения x D(f) выполняется: f(– x) = – f(x). График четной функции симметричен относительно оси OX, график нечетной функции симметричен относительно начала отсчета.

71

y = cos(x) (рис. 4), y = |x| (рис. 7).

2. f(x) = x3: f(– x) = (– x)3 = – x3 = – f(x), следовательно, фун-

кция f(x) = x3 нечетная и ее график симметричен относительно начала отсчета (рис. 1).

Нечетными являются также функции: = 1 (рис. 1), y = sin(x), y = tg(x), y = ctg(x) (рис. 4), y = arctg(x), y = arcsin(x),

y= arccos(x) (рис. 5).

3.f(x) = ex: f(– x) = e – x = 1 , 1 ≠ ( ), 1 ≠ −( ), следова-

тельно, функция не является ни четной ни нечетной (рис. 2).

Примером функции не являющейся ни четной, ни нечетной служит функции y = arcctg(x) (рис. 5). Функции у = ln(x) (рис. 3), = (рис. 1) определены лишь для неотрицательных x, и поэтому также не являются ни четными, ни нечетными.

Функция f(х) называется периодической, если существует

функции, а наименьший из периодов – основным периодом функции.

Пример.

Примерами периодических функций служат тригонометрические функции у = sin(х), у = cos(х), с основным периодом равным 2π, и у = tg(x), у = ctg(х), с основным периодом равным π (рис. 4).

Упражнения 4.1

1. Привести примеры элементарных функций, полученных из простейших элементарных f(x) = sin(x), f(x) = x5, f(x) = ex

72

4.Почему не является элементарной функция целая часть от x – «потолок»: = = min{ , ≥ }, равная наи-

меньшему целому числу, большему x?

5.Нарисовать графики неэлементарных функций, целая часть x – «потолок»: = = min{ , ≥ }; y = – |x – 3|.

3. Какой из следующих промежутков не входит в область значений функции у = x2: a) [0, 1], б) (0, 1) в) [0, 1) г) (– 1, 0],

д) y = 3x + x3?

Примечание. При выполнении теста смотри рис.1–7.

4.2. Предел и непрерывность функции

Рис. 8. Геометрический смысл предела функции в точке x = a

73

Число А называется пределом функции f(х) при х → а, если для любого сколь угодно малого ε > 0 найдется такое δ > 0, что |f(x) – А| < ε при 0 < |x – a| < δ (рис. 8). Число А называется пределом функции f(х) при х → ∞, если для любого сколь угодно малого ε > 0 найдется такое N > 0, что при |x| > N: |f(x) – А| < ε. Предел обозначается:

lim ( ) = .

→

Если х < а и х → а, употребляют запись х → (а – 0) и говорят, что x стремится к а слева; если х > а и х → а, записывают х → (а + 0) и говорят, что x стремится к а справа. Числа

называются соответственно левым и правым пределом функции f(х) в точке а. Для существования предела функции f(x) при х → а необходимо и достаточно, чтобы f(a – 0) = f(а + 0).

Понятие непрерывности функции

С понятием предела непосредственно связано понятие непрерывности функции: функция f(x) называется непрерывной в точке а, если:

1)эта функция определена в некотором интервале, содержащем точку а (т. е. в самой точке а и вблизи этой точки);

2)существуют, конечны и равны между собой левосторонний и правосторонний пределы

lim = lim ( ) ;

→ −0 →+0

3) значение пределов равно значению функции в точке а:

Функция f(x) называется разрывной в точке a, если она определена в сколь угодно близких точках, но в самой точке a не удовлетворяет хотя бы одному из условий непрерывности. Если точка a является левой или правой границей области определения функции f(х), то следует рассматривать значения функции соответственно только справа или только слева от этой точки и в самой точке. При этом: 1) если граничная точка a входит в область определения функции, то она будет точкой непрерывности или точкой разрыва функции, смотря по тому, будет ли предел функции изнутри ее области опре-

74

деления равен или не равен значению функции в точке a; 2) если граничная точка a не входит в область определения функции, то она является точкой разрыва функции.

Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интервала, сегмента и т. п.), то она называется непре-

рывной в этой области.

Пример. Исследовать на наличие точек разрыва функции:

1. у =1.

Решение. Область определения функции представляет собой все действительные числа за исключением числа x = 0. Таким образом, в точке x = 0 нарушается первое условие непрерывности функции, т. е. точка x = 0 – является точкой разрыва функции (рис. 1)

2. = .

Решение. Областью определения функции являются все неотрицательные числа: D(y) = [0, ∞). Точка x = 0 является граничной точкой области определения и принадлежит этой области. Функция существует правее точки x = 0.

Предел функции при x → 0 равен значению функции в точке x = 0, значит функция = непрерывна в точке x = 0,

аследовательно не имеет точек разрыва (рис. 1).

3.y = ln(x).

Решение. Областью определения функции являются все положительные числа: D(y) = (0, ∞). Точка x = 0 является граничной точкой области определения но не принадлежит этой области, а следовательно является ее точкой разрыва (рис. 1).

Функция f(х) называется бесконечно большой при х → а,

если lim ( ) = ∞, то есть для любого сколь угодно боль-

→

шого М найдется такое δ > 0, что |f(x)| > M при 0 < |x – a| < δ. Функция f(х) называется бесконечно малой при х → а если

lim ( ) = 0.

→

Примеры:

1. Функция y = tg(x) (рис. 4) является бесконечно большой при х → 2 − 0.

75

2.Функция y=ex (рис. 2) является бесконечно большой при

х→ + ∞.

3.Функция y=ex (рис. 2)является бесконечно малой при

х→ – ∞.

4.Функция y=sin(x) (рис. 4) является бесконечно малой при х → 0.

Вычисление пределов функции

Практическое вычисление пределов основывается на

→

II. Если функция f(x) непрерывна (см. п. 4.2) в точке x = x0 и

lim ( ) = 0, то

→

III. Если в некотором достаточно малом промежутке, содержащем точку а, для любого х выполняется g(x) f(x), то

хотя бы один из них бесконечен либо равен нулю, тогда для

76