OVM_funkcii

|f(x)| A (A – любое положительное число), то вычислить пре-

Если существует предел lim ( ) и не существует предел

ременной либо функции стремится к нулю, при этом оставаясь положительным, а 0 − 0 – для указания, того что значение некоторой переменной либо функции стремится к нулю, при этом оставаясь отрицательным.

→2−0

x < 2: (x – 2)3 < 0.

77

вается многочленом или полиномом от переменной x степени n. Здесь n – старшая степень многочлена (самая большая степень), ai, = 1, –коэффициенты многочлена. Запишем мно-

гочлен в виде + −1 −1 + + +1 +1 + . Степень r – младшая степень многочлена (самая маленькая степень).

Поскольку один из пределов равен 0, воспользуемся правилом VI. Итак, числитель f(x) рассматриваемой функции при x → 2 – 0 стремится к A = 3, а знаменатель g(x) к 0 – 0, (т.е. значение g(x) стремится к 0, оставаясь при этом отрицательным). Для вычисления предела воспользуемся 5-ым столбцом правила VI, из которого, следует, что

2) lim 3 5 − 2 2 + 1 . x→−∞ −2 2 + 7

Решение: Так как → −∞, воспользуемся правилом VII. Старшая степень числителя n = 5, знаменателя m = 2. Пос-

кольку n > m, определим знак (–1)5–2a5b2: a5 = 3 и b2 = – 2, следовательно (–1)3 a5 ∙ b2 = (–1) 5 (–2) = – 10 < 0, значит

Решение: Так как → +∞, применим правило VII. Старшая степень числителя n = 2, знаменателя m = 3, => n < m, =>

существует, однако |sin(x)| 1; lim( − 2)3 = ∞. Воспользо-

→∞

вавшись 1-ым столбцом таблицы 1 (A = 1), установим, что

79

Решение: Так как → 0 − 0, применим правило VIII. Младшая степень а числителя r = 0, знаменателя p = 0, => n = m, =>

Поиск асимптот

Рис. 9. Асимптоты

Непосредственно с нахождением пределов связан одним из важных этапов исследования функции – поиск асимптот. Напомним, что прямая α называется асимптотой кривой y = f(x), если расстояние от точки кривой М(х, f(x)) до прямой α стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат (т. е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности). Асимптоты кривой делятся на вертикальные вида х = а, горизонтальные у = b, и наклонные y = kx + b (рис. 9).

80

Прямая х = а является вертикальной асимптотой кривой

y = f(x), если lim ( ) = ±∞.

→

Прямая у = b является горизонтальной асимптотой кри-

Прямая y = kx + b является наклонной асимптотой кривой y = f(x), если существуют пределы

Примечание. Кривая может иметь вертикальные асимптоты на границах области определения либо в точках разрыва.

Решение. 1) Функция имеет разрыв в точке x = 2, следовательно, возможно наличие вертикальных асимптот:

следовательно, прямая x = 2 – вертикальная асимптота; 2) Исследуем функцию на наличие наклонных асимптот:

Таким образом, у = x + 1 – наклонная асимптота функции при x → + ∞. Легко проверить, что прямая у =x + 1 является наклонной асимптотой функции при x → – ∞.

Упражнения 4.2

1. Сколько точек разрыва на отрезке [– π, π] имеют функ-

ции: а) y = tg(x), б) y = сtg(x), в) y = cos(x), г) = + ,

д) = 1 − −1?

2.Найти младшую степень следующих многочленов:

a)3x2 + x, б) 2x + 5x3, в) 2 + x9, г) x3, д) 3x3 + x + 0.

81

4.3. Производная функции

а) б) Рис.10 Геометрический смысл производной

Рассмотрим функцию у = f(х), определенную на промежутке [a, b] (рис. 10.а) Точка A, принадлежащая графику функции, имеет координаты A(х0, f(х0)). Решим задачу нахождения уравнения касательной λ к графику функции у = f(х) в точке A(х0, f(х0)). Запишем уравнение касательной в

виде y = kλx + pλ.

Рассмотрим некоторую точку B графика функции у = f(х), не совпадающую с A (рис. 10.а). Пусть абсцисса точки B отличается от абсциссы точки A на некоторую величину ∆х. Тогда точка B имеет координаты (x0 + ∆х, f(х0 + ∆х)). Через точку A проведем прямую параллельную оси OX, через В – прямую параллельную оси OY. Эти прямые пересекаются в точке C.

Выразим катеты треугольника ACB через координаты точек A и В:

AC = (x0 + ∆х) – x0 = ∆х, AB = f(х0 + ∆х) – f(х0) = ∆f.

Величина ∆х называется приращением аргумента функ-

ции, ∆f – приращением функции. Угол α – угол наклона пря-

мой AB к положительно направленной ости OX. Пусть уравнение прямой AB имеет вид y = kAB x + pAB, тогда, согласно разделу 3.3, kAB = tg (α). Выразим tg(α) через катеты прямоугольного треугольника ACB (рис 10.а):

tg(α)= = ∆∆х.

Устремим точку В к точке A (рис. 10.б). В этом случае величина ∆х устремится к 0, а прямая AB “устремится” к каса-

83

тельной λ (рис. 10.б) и коэффициент kAB к коэффициенту kλ, то есть

Предел отношения приращения функции ∆f к приращению аргумента ∆х при ∆х стремящимся к 0 называется производной функции (в точке х0) и обозначается f′ (либо f′(х0)).

Таким образом, уравнение прямой λ можно записать в виде y = f′(х0) x + pλ. Учитывая, что λ проходит через точку

A(х0,f(х0)), найдем pλ: f(х0) = f′(х0) x0 + pλ, => pλ = f(х0) – f′(х0)x0.

Теперь запишем окончательное уравнение касательной к кри-

вой у = f(х) в точке в A(х0,f(х0)):

y = f′(х0)(x – х0) + f(х0).

Производную обозначают также y′ и yx′. Операция нахождения производной называется дифференцированием. Функция у = f(х), которая имеет производную в точке х, называет-

ся дифференцируемой в этой точке. Функция у = f(х), кото-

рая имеет производную в каждой точке некоторого проме-

жутка, называется дифференцируемой на этом промежутке. Итак, мы выяснили, что геометрический смысл производ-

ной заключается в том, что для кривой, заданной уравнением у = f(х), производная f′(х0) равна тангенсу угла наклона касательной к кривой в точке с абсциссой х0, к положительно направленной оси ОX.

Выясним механический смысл производной. Рассмотрим материальную точку, движущуюся по прямой. Пусть за время t от начала движения точка проходит расстояние s(t). Зависимость s от t, задаваемую функцией s(t), называют законом движения точки. За промежуток времени от t до t + ∆t точка проходит расстояние s(t + ∆t) – s(t). Найдем среднюю скорость движения точки на промежутке [t ,t + ∆t]:

Чтобы найти мгновенную скорость v в момент времени t необходимо ∆ устремить к 0:

таким образом, скорость движения точки в момент времени t есть производная пути по времени: ( ) = ′( ).

84

Пример. Пользуясь определением производной найти производную функции y = x2.

Решение. Составим соотношение

С помощью определения производной построена таблица производных основных элементарных функций, которой можно воспользоваться для нахождения производных других элементарных функций.

Таблице производных.

Теорема 1. Производная алгебраической суммы двух дифференцируемых функций равна алгебраической сумме произ-

Доказательство. Пусть f(x) = u(x) + v(x). По определению

85

В формулу вместо f(x) подставим выражение u(x)+v(x)

Сгруппируем слагаемые представленные функциями u и v:

Разделив почленно и воспользовавшись правилом I вычисления пределов (см. п. 4.2), получим

Теорема. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений каждой функции

Из теоремы следует, что постоянный множитель можно выносить за знак производной:

(Cy(х))′ = Сy′(х).

Теорема. Производную частного двух дифференцируемых

( ) функций, где v(x)≠0 можно найти по формуле

( )