Спецкурс численные методы.

уравнений с n неизвестными

Конечно, количество итераций, необходимое для обеспечения заданной точности, при этом, как правило, возрастёт, но благодаря существенной экономии времени на каждой итерации, время счёта часто оказывается меньшим, чем при расчёте простым методом Ньютона.

Применяемая обычно оценка скорости сходимости вычислительного процесса требуемым количеством итераций без учёта времени выполнения одной итерации не отражает реального соотношения затрат времени на расчёт различными методами.

Известен также усиленный метод Ньютона, когда аппроксимирующее выражение принимают в виде полинома порядка более высокого, чем первый. При бесконечной дифференцируемости функций его можно рассматривать как более длинный, чем в обычном методе Ньютона, отрезок ряда Тейлора. Однако, более высокие затраты времени на выполнение одной итерации в ряде случаев могут сильнее сказаться на времени счёта, чем уменьшение требуемого количества итераций.

При выполнении реальных расчётов строительных конструкций, определение производных функций, стоящих в левой части уравнений (5.2) или (5.3), может оказаться затруднительным или вовсе невозможным (например, из-за того, что определение усилий в железобетонных конструкциях описывается достаточно сложным алгоритмом, включающим условные операторы); возможно только определение самих усилий, а не их дифференцирование по перемещениям или даже по деформациям.

В этом случае может быть применён конечноразностный вариант метода Ньютона или модифицированного метода Ньютона, а именно, использование в формулах (5.13), (5.27), (5.25) и (5.28) вместо производных их конечноразностных аппроксимаций

конечноразностных аналогов производных более высоких порядков). Приращения функций и аргументов естественно определять по их значениям при последовательных итерациях (частные приращения функций определяются при изменении только одного аргумента, номер которого является вторым нижним индексом функции):

x(i 1) x(i) x(i 1) , xn(i 1) xn(i) xn(i 1) ,

f (i 1) f (x(i) ) f (x(i 1) ), fmn(i 1) fm (xn(i) ,*) fm (xn(i 1) ,*)

53

Обозначения функций нескольких переменных fm (xn(i 1) ,*) означает, что все

аргументы, кроме указанных явно, остаются постоянными.

Следует отметить, что решение уравнения (5.23) в виде (5.25) имеет скорее символический, чем практический смысл, так как обращение матрицы в общем случае гораздо более трудоёмко, чем непосредственное решение системы уравнений. Целесообразнее решать сразу систему (5.23) (или соответствующую ей систему модифицированного метода).

Погрешность решения системы уравнений при практических вычислениях оценить достаточно трудно, поэтому контролируется лишь приращение корня на каждой итерации (что не всегда позволяет дать надёжную оценку погрешности).

5.3. Критерии усвоения

После изучения содержания данной темы Вы должны:

знать

как решаются методом Ньютона нелинейные уравнения и системы нелинейных уравнений;

каким условиям должны удовлетворять уравнения для того, чтобы их можно было решать методом Ньютона;

как контролируется погрешность очередной итерации;

когда следует отказаться то применения метода Ньютона и переходить к методу секущих;

понимать

роль каждого условия применения метода Ньютона;

смысл алгоритма решения на каждой итерации;

причину и смысл перехода к модифицированному методу Ньютона;

причину отказа от применения метода Ньютона и перехода к методу секущих;

Уметь

Применять каждый из ииизложенных методов.

5.4. Выход темы в другие темы и дисциплины

Данная тема имеет выход в дипломные, магистерские и диссертационные работы.

5.5. Тест - контроль для самопроверки

5.1.Какое уравнение решают, чтобы найти очередное приближение при решении нелинейного уравнения методом Ньютона?

А. Заданное уравнение.

Б. ~f (i) (x) 0, где ~f (i) (x) - линейная функция, аппроксимирующая заданную

функцию.

54

~

Г. f (x) f (x) 0.

5.2. Какую систему уравнений решают, чтобы найти очередное приближение при решении системы нелинейных уравнений методом Ньютона?

функцию.

В.F(x) .

~

Г. F(x) F(x) .

.

5.3. Чем отличается модифицированнный метод Ньютона от обычного метода Ньютона?

А. Вместо производных используется их конечноэлементный аналог.

Б. На каждой итерации вместо значений производных, определённых на предыдущей итерации, используются значения, определённые в начальной точке.

В. Принимается в качестве аппроксимирующей функции многочлен более высокого порядка.

5.4. Чем отличается метод секущих от метода Ньютона?

А. Вместо производных используется их конечноэлементный аналог.

Б. На каждой итерации вместо значений производных, определённых на предыдущей итерации, используются значения, определённые в начальной точке.

В. Принимается в качестве аппроксимирующей функции многочлен более высокого порядка.

Г. Следующая итерация принимается по формуле

F(x(i 1) )x(i) F(xi 1) )x(i 1) F(x(i 1) ).

x x

55

Ответы на тест-контроль

~~

5.1.«Б»- f (x) 0, где f (x) линейная функция, аппроксимирующая заданную

функцию.

5.2.«А»- F(x(i 1) )x(i) F(x(i 1) )x(i 1) F(x(i 1) )

x x

5.3.«Б»-на каждой итерации, вместо значений производных, опредлённых на предыдущей итерации, используются значения, опредлённые в начальной точке.

5.4.«А»-вместо производных используется их конечноэлементный анализ.

56

ЧМ-6. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА. МЕТОДЫ РИТЦА И БУБНОВА-ГАЛЁРКИНА

6.1. Входная информация для самопроверки

Для изучения данной темы Вам необходимо восстановить в памяти:

- из курса прикладной математики - понятия линейной алгебры, векторной алгебры, числовой последовательности, функциональной последовательности, предела;

- из настоящего спецкурса - понятия: пространства, оператора, функционала, линейного оператора, проекции, системы функций, базиса, ортогональной системы функций, полной системы.

6.2.Содержание темы

Влекции ЧМ-1 мы выяснили, что одной из проблем, возникающих при расчёте строительных конструкций, является то, что они моделируются системами с бесконечно большим числом степеней свободы, в то время, как в памяти компьютера или даже на листе бумаги можно записать только конечное количество чисел. Таким образом возникает задача, упомянутая в лекции ЧМ-1 – дискретизация рассчитываемой системы и аппроксимация искомой функции (искомых функций) элементами подходящего для данного случая дискретного множества. Это позволяет преодолеть поставленную проблему, так как каждый элемент дискретного множества может быть задан конечным числом чисел. Об искомых функциях известно только то, что они являются решением некоторой краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения или дифференциального уравнения в частных производных, либо для систем таких уравнений; в общем случае можно сказать, что они удовлетворяют некоторому операторному уравнению, то-есть, они заданы неявно – операторным уравнением. В курсе информатики и вычислительной техники рассматривалась значительно более простая задача – аппроксимация функций, заданных явно (например, эмпирических зависимостей, заданных таблицей).

Известны два пути построения методов такой аппроксимации.

Первый из этих путей предусматривает дискретизацию континуальной области путём приближённого её представления некоторым конечным множеством её точек. Это множество называется сеткой узлов, а соответствующие методы называются сеточными методами, или методами конечных разностей (МКР). Учитывая, что эти методы сейчас в значительной степени потеряли актуальность для строительной механики, а также изобилие посвящённой им литературы, в данном спецкурсе они не рассматриваются.

Второй путь – дискретизация пространств искомых и заданных (описывающих нагрузки и воздействия) функций. В этой связи обычно упоминают пересекающиеся классы методов – прямые методы, вариационные методы, энергетические методы, проекционные методы, методы наименьших квадратов, методы Ритца, типа Бубнова-Галёркина и некоторые другие.

Возможна также комбинация этих путей, реализованная в методе конечных элементов

(МКЭ).

Двумя последними направлениями мы и займёмся далее.

Второй путь чаще всего использует линейную аппроксимацию функций – её приближённое представление линейной комбинацией функций некоторой заранее выбранной

системы k . Тогда приближённое решение задачи заключается в определении коэффициентов этой комбинации. Для этого применяется ряд методов (методы Ритца,

57

Бубнова – Галёркина и его обобщения, наименьших квадратов, коллокаций, Бицено-Коха и ряд других методов). В различных условиях может оказаться рациональным применение различных методов или даже невозможным применение каких-то методов. Границы областей рационального применения этих методов не всегда чётко очерчены. Далее мы остановимся на двух наиболее распространённых методах – Ритца и Бубнова–Галёркина.

Линейная аппроксимация функций напоминает задание вектора при помощи чисел. С этой целью в трёхмерном пространстве векторной алгебры вводится система координат - совокупность осей координат, пересекающихся в одной точке. На этих осях задаются координатные орты, фиксирующие направление и масштаб. Совокупность координатных функций образует базис. Проектируя вектор на ось, получаем также вектор - компоненту ( или составляющую) заданного вектора, длина которой называется координатой вектора. Используется также термин проекция вектора, под которой в ряде учебников (в основном для технических учебных заведений) подразумевается число – координата вектора; в более серьёзной специальной литературе под координатой вектора подразумевается другой вектор - его компонента вдоль данной оси.

Для наших целей более удобно называть проекцией вектора другой вектор – составляющую, или компоненту заданного вектора. На элементарном уровне это можно пояснить следующим образом. Часто кроме проекции вектора на ось (одномерное подпространство трёхмерного пространства) необходимо использовать также результат его проектирования на плоскость (двумерное подпространство трёхмерного пространства), который в принципе невозможно задать одним числом и который естественно рассматривать как вектор. Этот вектор естественно называть проекцией заданного вектора на плоскость; тогда и проекцию вектора на ось так же естественно считать вектором.

В общем случае, как установлено в векторной алгебре, в конкретной системе координат любой вектор a может быть представлен при помощи других векторов (координатных ортов) в виде

Так как рассматриваемое пространство трёхмерно, необходимое и достаточное количество координат для точного задания вектора - три, а указанная система ортов полна в этом пространстве. Кроме того, приведенная выше система ортов линейно независима, тоесть, не существует такой тройки чисел a,b,c, для которой линейная комбинация

ai bj ck задавала бы ненулевой вектор.

Ось и плоскость являются подпространствами меньшей размерности трёхмерного пространства векторной алгебры (ось – одномерное подпространство, плоскость – двумерное). Иногда, для конкретных условий той или иной задачи, достаточно вместо самого вектора указывать только его проекцию на подпространства – плоскость или даже ось. Так, для многих целей достаточно рассматривать вместо траектории самолёта его след на карте (считаем расстояния достаточно малыми, чтобы пренебречь кривизной земной поверхности) или даже его расстояние до пункта назначения – длину его проекции на ось, проходящую через пункт вылета и пункт назначения. При этом мы пренебрегаем либо одной проекцией (проекцией на вертикаль) либо двумя проекциями (на вертикаль и на одну перпендикулярную к ней ось, лежащую в плоскости карты). Следовательно, мы пользуемся упрощенным, приближённым представлением вектора – его проекцией на подпространство меньшей размерности:

58

погрешность проекции на подпространство большей размерности (плоскость, а не ось) меньше или равна погрешности проекции на подпространство меньшей размерности то-есть,

Обобщим это положение на произвольное гильбертово пространство ( для нас важен его частный случай – функциональное пространство L2 ) или на его полное подпространство любой (конечной или бесконечной) размерности. По аналогии с введением системы координатных ортов в трёхмерном пространстве зададим в нём базис - систему функций

{ k}1n (если пространство конечномерно) или { k}1 (если пространство бесконечномерное),

которые назовём координатными функциями. Они будут играть роль координатных ортов. Естественно, по причинам, упомянутым в лекции ММ-1, для конкретных вычислительных процессов можно применять только конечные системы функций; бесконечные системы необходимы для теоретического анализа того или иного метода. Как в случае вектора в трёхмерном пространстве векторной алгебры, мы будем пытаться представить искомую или заданную функцию f (в случае системы уравнений – искомые или заданные функции) в

виде линейной комбинации в случае конечномерного пространства -

k1

вслучае бесконечномерного пространства –

Как правило, искомые функции принадлежат бесконечномерным пространствам и в лучшем случае точно могут быть представлены только бесконечной линейной комбинацией (6.5), понимаемой по аналогии с суммой ряда (в случае, если пространство сепарабельно, как,

например, пространство L2 ). В общем случае конечные системы являются неполными в функциональных пространствах, в которых мы разыскиваем решение. Другими словами, входящих в них функций недостаточно для точного описания решения. и они служат для приближённого описания решения (иными словами, для его аппроксимации) – его

60

Рассмотрим этот вопрос подробнее на примере задачи, сформулированной в перемещениях. Пусть рассматриваются для простоты изложения перемещения y(x) и

нагрузка q(x) одного направления. Тогда линейная краевая задача для дифференциального уравнения m-го порядка строительной механики имеет вид

где pk (x), b1k , b2k , c1, c2 -коэффициенты.

Как следует из смысла метода перемещений, левая часть уравнения (6.9), то-есть, Ay(x), есть равнодействующая внутренних сил. Тогда, как установлено в курсе строительной механики, работа внутренних сил первого состояния (описываемого возможными перемещениями y1(x)), на перемещениях второго состояния (описываемого возможными перемещениями y2 (x)), равна (здесь скалярное произведение определяется согласно формулы (2.12) лекции ЧМ-2)

Операторы A, удовлетворяющие условию (6.14), называются симметричными, если D(A) H ; если же D(A) H , то такие симметричные операторы называется самосопряжёнными. Если для самосопряжённого оператора A можно указать такую величину A 0, не зависящую от функции, на которую действует оператор, что выполняется неравенство