konsp_lektsiy_1ch

21

С помощью этой аксиомы устанавливается, в частности, связь между условиями равновесия сил, приложенных к абсолютно твердому телу и деформируемому телу. Из аксиомы следует, что условия равновесия сил, приложенных к абсолютно твердому телу, необходимы и для равновесия деформируемого тела.

Величина реакции в этом случае определяется из условия равновесия исходного тела. Направление силы реакции связи принимается совпадающим с направлением запрещенного перемещения точки K тела в месте наложения внешней связи.

ЛЕКЦИЯ № 4. ВИДЫ СВЯЗЕЙ И РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ. ПОНЯТИЕ МОМЕНТА СИЛЫ, МОМЕНТ ПАРЫ СИЛ. УСЛОВИЕ РАВНОВЕСИЯ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ. СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ.

4.1.ВИДЫ СВЯЗЕЙ И РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ

Вокружающем нас реальном мире в пределах поверхности земли все твердые тела являются трехмерными, т.е. они имеют три линейных независимых друг от друга измерения.

Вевклидовой геометрии независимость линейных измерений обеспечивается их взаимным перпендикулярным друг к другу направлением, т.е. иначе: осями декартовой системы координат.

Каждое абсолютно твердое тело состоит из континуума материальных точек, представляющих собой неизменную совокупность. Перемещение тела в пространстве может быть выполнено тремя одновременными прямолинейными перемещениями всех его точек вдоль координатных осей и тремя независимыми вращениями всего тела вокруг каждой из них.

Вмеханике каждое независимое перемещение абсолютно твердого тела называется его степенью свободы.

Свободное абсолютно твердое тело в пространстве имеет шесть степеней свободы: три прямолинейных перемещения вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений и три поворота (по одному вокруг каждого из этих направлений). Если абсолютно твердое тело движется так, что все его точки перемещаются в параллельных плоскостях, то можно рассматривать перемещение одного из его характерных сечений в плоскости, совпадающей с плоскостью самого сечения тела. В этом случае перемещение тела называется плоским, при котором оно имеет три независимых перемещения, т.е. три степени свободы (1.2): два линейных перемещения вдоль двух взаимно перпендикулярных направлений, лежащих в плоскости сечения, и один поворот сечения тела вокруг любой точки, которая лежит в плоскости сечения.

Таким образом, свободное абсолютно твердое тело при перемещении в пространстве имеет шесть степеней свободы, а при перемещении в плоскости – три степени свободы.

Тем не менее, при решении задач, связанных с расчетом и анализом сооружений, практически всегда приходится иметь дело с рассмотрением несвободных абсолютно

23

3. Жесткой заделкой называется такой вид связи, который запрещает все возможные перемещения тела на плоскости.

4.2. ПОНЯТИЕ МОМЕНТА СИЛЫ, МОМЕНТ ПАРЫ СИЛ

Одним из важнейших понятий статики является момент силы, который характеризует вращательное воздействие силы на твердое тело.

Моментом силы относительно точки называют произведение модуля силы на плечо этой силы относительно данной точки.

Плечом силы является кратчайшее расстояние (длина перпендикуляра) от данной точки до линии действия силы.

Точка, относительно которой определяется момент, называется моментной. Момент силы имеет направление, которое определяется направлением поворота тела

относительно моментной точки по часовой или против часовой стрелки (рис. 4.7). Обычно знак плюс принято принимать в том случае, когда сила стремится повернуть тело вокруг точки против часовой стрелки.

Пусть твердое тело, к которому приложена сила Р (рис. 4.7) имеет одну закрепленную точку А, вокруг которой в плоскости чертежа оно может поворачиваться. В результате воздействия силы тело будет поворачиваться, т.е. сила создает в данном случае только вращательное воздействие, которое измеряется её моментом относительно центра А и согласно определению он равен произведению модуля силы

Р на плечо h, т.е MА(P) P h.

Рис. 4.7.

При этом вращение тела происходит по часовой стрелке и, следовательно, момент имеет алгебраический знак минус (-).

Математическая символика "МА(P)" читается следующим образом: момент силы Р относительно точки А (наименование точки указывается обязательно).

Если на тело действуют силы, лежащие в одной плоскости с центром, вокруг которого создается вращательный эффект, то моменты этих сил относительно центра могут выражаться алгебраическими их значениями.

Момент силы имеет три параметра: скалярную величину, плоскость поворота и направление поворота.

Единицей измерения скалярной величины момента силы, является «ньютонометр» (Н·м) или «килоньютонометр» (кН·м).

Моменты силы относительно центра, имеющие единую плоскость поворота, могут алгебраически складываться.

24

Рассматривая математическое значение вращательного эффекта силы, несложно сделать следующее утверждение: если линия действия силы проходит через центр, то момент этой силы относительно центра равен нулю, так как плечо силы относительно центра равно нулю.

Рассмотрим систему двух сил параллельных друг другу и направленных в противоположные стороны – антипараллельных сил (рис. 4.8).

Очевидно, что сумма проекций сил Р на произвольную ось будет равна нулю, т.е. представленная система сил не имеет равнодействующей. Величина суммарного момента сил относительно

точки Аопределится как: MА P a P (a b) P b.

Таким образом, суммарный момент двух сил Р не зависит от расстояния до моментной точки. Следовательно, суммарный момент для данной системы сил относительно любой точки на плоскости является постоянной величиной, равной произведению силы Р на расстояние между силами.Такая система сил называется парой сил.

Кратчайшее расстояние b (рис.4.8) между линиями действия сил, составляющих пару, называется плечом пары сил.

Действие пары сил на твердое тело характеризуется её моментом. Момент пары сил определяется произведением модуля одной из сил пары на её плечо: M P b .

На расчетных схемах приложенные к твердому телу пары сил изображаются условными знаками, которые указывают на направление поворота в плоскости расчетной схемы. При этом величина момента пары сил или указывается в условии задачи или её необходимо определить.

Момент пары сил (2.1) считают положительным, если пара сил стремится вращать плоскость чертежа в сторону, противоположную вращению часовой стрелки, и отрицательным – в сторону вращения часовой стрелки.

4.3. УСЛОВИЕ РАВНОВЕСИЯ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СИЛ

Понятие момента силы дает возможность осуществлять перенос силы на плоскости не только по линии ее действия, но и параллельно самой себе. В этом случае при переносе силы P из точки А в точку B необходимо в точку B также добавить момент силы P относительно точки B (лемма о параллельном переносе).

25

Пусть на тело действует система сил, в которой силы расположены на плоскости произвольным образом (рис.4.9).

Выберем произвольную точку О, которую назовём центром приведения и, используя лемму о параллельном переносе силы, перенесем последовательно каждую силу системы параллельно самой себе в центр приведения. При этом каждый раз прибавляем момент переносимой силы относительно центра приведения. В результате выполнения таких операций мы получаем две системы сходящихся векторов. Одна из них состоит из совокупности векторов сил, которые по величине и направлению равны и параллельны соответствующим силам первоначальной системы, а вторая представляет собой совокупность добавленных векторных моментов переносимых сил относительно центра приведения.

(В целях упрощения на рис. 4.9 вторая система векторов изображена в виде системы моментов пар сил.)

Используя возможность замены системы сходящихся векторов одной равнодействующей и учитывая, что силы и моменты сил имеют разное физическое содержание, для системы сил получаем:

Для системы сходящихся векторных моментов равнодействующая равна:

Таким образом, первоначальная система произвольно расположенных сил получила эквивалентную замену в виде одной результирующей силы и одного результирующего

Следует заметить, что вектор силы, который входит составной частью в эквивалент, всегда приложен в центре приведения, а векторный момент как вторая часть эквивалента может быть представлен моментом пары сил и поэтому он является свободным вектором.

Главным вектором системы сил при приведении её к одному центру является векторная сумма всех сил системы.

Таким образом, можно утверждать, что главный вектор системы сил всегда приложен в центре приведения и его величина определяется через проекции всех сил системы на координатные оси, как модуль вектора равнодействующей системы сходящихся сил.

Главный момент системы сил при приведении её к одному центру представляет собой векторную суму моментов всех сил системы относительно выбранного центра приведения:

M o M o (Pi ).

Рассмотрим случай, при котором и главный вектор и главный момент системы сил равны нулю, т.е.: R* 0; MO* 0.

27

Однако, поскольку силы параллельны для определения главного вектора системы сил выберем систему координат, в которой ось y параллельна силам Р, а ось х – перпендикулярна. Очевидно, что в этом случае сумма проекций все сил системы на ось х равна нулю

Pix 0.

Тогда условие равновесия абсолютно твердого тела при действии на него системы параллельных сил может быть сформулировано следующим образом: для того, чтобы абсолютно твердое тело под действием плоской системы параллельных сил находилось в состоянии равновесия,

Рис. 4.11. необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма

проекций всех сил на параллельную ось была бы равной нулю и алгебраическая сумма моментов всех сил системы относительно любой точки, лежащей в плоскости действия сил, была бы также равной нулю Piy 0; MO Pi 0.

Условия равновесия (2.4) могут быть использованы при определении опорных реакций. При решении системы уравнений равновесия некоторые неизвестные силы могут оказаться отрицательными. Это означает, что направление этой силы противоположно тому, которое было изображено на рисунке расчетной схемы.

Также следует учитывать, что для частных случаев плоской системы количество расчетных уравнений различно: для системы сходящихся сил – 2 расчетных уравнения, определяемых условием равновесия тела при действии системы сходящихся си; для системы параллельных сил – 2 расчетных уравнения, определяемых условием равновесия тела при действии системы параллельных сил;

Оси декартовых координат целесообразно направлять так, чтобы одна из них оказалась параллельной всем силам, приложенным к твердому телу. Уравнение моментов рекомендуется составлять относительно точки, лежащей на линии действия неизвестной силы. Это даёт возможность, минуя решение системы уравнений равновесия, определить одну из неизвестных величин непосредственно из уравнения моментов.

Правильность решения задачи можно проверить, составив уравнение моментов всех сил (включая и те, которые определены решением задачи) относительно любой точки, которая лежит в плоскости действия сил и не лежит на линии действия тех сил, которые определяются. Если такое уравнение обращается в тождество типа «0=0», то задача решена верно.

ЛЕКЦИЯ № 5. ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ В БРУСЕ, МЕТОД СЕЧЕНИЙ, ЭПЮРЫ ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ В СТЕРЖНЕ. НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ, ЗАКОН ГУКА.

5.1. ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ В БРУСЕ, МЕТОД СЕЧЕНИЙ, ЭПЮРЫ ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ В СТЕРЖНЕ.

Анализируя окружающие нас предметы, мы замечаем, что струна гитары и канат лифта растянуты. Колонны зданий, ножки стула, на котором мы сидим, сжаты. Это самые простые и очевидные виды деформаций растяжения и сжатия.

Связность тела в недеформированном состоянии обусловливается тем, что между его атомами существуют силы взаимодействия, и каждый атом находится в равновесии под действием приложенных к нему сил. Внешние силы вызывают деформацию тела, следовательно, меняются расстояния между атомами, меняется взаимное расположение

28

атомов, меняются и силы взаимодействия между атомами. Изменение сил взаимодействия между атомами вследствие деформации мы будем называть внутренними усилиями, сопровождающими деформацию. Однако одного понятия внутренних усилий в этом случае будет мало, поскольку эти усилия могут иметь совершенно различные направления, а также создавать моменты сил, учет которых необходим при рассмотрении состояния равновесия тела. Поэтому, говоря о внутренних усилиях, будем употреблять понятие внутреннего силового фактора. Внутренний силовой фактор – есть некоторая обобщенная сила или момент силы, возникающие в сечении бруса, обусловленные силами взаимодействия элементов кристаллической решетки при ее деформации.

Изучая деформации растяжения и сжатия, будем для начала рассматривать такие загружения стержней, при которых равнодействующие всех сил и реакций лежат на одной прямой, совпадающей с продольной осью элемента. В этом случае в поперечном сечении элемента возникает один внутренний силовой фактор – продольное усилие N (продольная сила).

Для определения внутренних усилий (продольных сил) используется метод сечений, сущность которого заключается в следующем (рис. 5.1).

Алгоритм метода сечений:

1.мысленно рассекаем стержень плоскостью, перпендикулярной продольной оси (m-n) стержня на две части и одну из частей заменяем действующими внутренними усилиями;

2.рассматриваем в равновесии одну из частей: верхнюю или нижнюю, правую или левую (в данном случае нижнюю); возникающее в сечении неизвестное усилие N, считаем положительным и направляем в сторону от сечения (в сторону отброшенной части);

3.записываем уравнение равновесия для рассматриваемой части элемента:

ΣFz = 0 Nz– P = 0, откуда Nz= P;

4.Полученный в результате решения знак «+» свидетельствует о том, что усилие растягивающее,

знак минус – сжимающее.

Следовательно, метод сечений – алгоритм последовательных действий, с помощью которых определяют внутренние усилия.

При приложении к стержню нескольких внешних сил, величина продольного усилия в стержне может изменяться в зависимости от расположения расчетного сечения. Рассмотрим стержень, представленный на рис. 5.2.а. К стержню приложены три силы Р1, Р2, Р3, находящиеся на одной прямой. Очевидно, что для такой системы сил условия равновесия имеют вид Fz 0. Запишем это уравнение и определим реакцию опоры в точке А:

Fz P1 P2 P3 HA 0, откуда HA P1 P2 P3 5 3 6 2кН.

Определив опорные реакции, можно приступить к определению внутренних усилий в стержне. Разделим стержень на отдельные участки в точках приложения внешних нагрузок, т.е. получаем три участка – А-В, В-С, С-D.

29

В соответствии с методом сечений рассечем стержень на две части сечение 1-1 и рассмотрим в равновесии левую отсеченную часть. Неизвестную продольную силу в сечении направляем в сторону растяжения (в сторону отброшенной части). Из условия равновесия получим

Fz NzA B HA 0, откуда

NzA B HA 2кН

Аналогично в сечении 2-2, получимFz NzB C P1 HA 0, откуда

NzB C HA P1 2 5 3кН

При рассечении сечением 3-3 на участке С-D, рассмотрим в равновесии правую отсечную часть:Fz NzC D P3 0, откуда

NzC D P3 6кН.

Очевидно, что на расчетные уравнения, а равно и на величину продольного усилия в элементе, место расположения сечения на каждом участке влияния не оказывает. Следовательно, величина продольного усилия на каждом участке постоянна. Построим диаграмму изменения продольного усилия по длине стержня (рис. 5.2.б). Такая диаграмма называется эпюрой продольной силы.

Эпюра – это диаграмма изменения какой-либо величины (усилия, напряжения, деформации и т. д.) по длине элемента или по высоте (ширине) поперечного сечения.

Ордината эпюры в определенном масштабе равна численному значению продольного усилия в рассматриваемом сечении элемента.

Положительные значения продольных усилий откладываются вверх от оси, отрицательные – вниз в определенном масштабе или, как правило, соразмерно значениям величин усилий. На эпюрах обязательно ставят знаки, обозначая положительную и отрицательную область эпюры. При этом сами значения ординат могут быть записаны по