konsp_lektsiy_1ch

15

Главными осями инерции называется пара осей, относительно которой

центробежный момент инерции площади равен нулю.

Действительно, осевые моменты инерции площади Ix, Iy всегда положительны как суммы положительных слагаемых, а центробежный момент инерции площади Ixy может быть и положительным, и отрицательным, и, как следствие, нулевым. Таким образом, система осей x, y, относительно которой Ixy=0 называется главной, а оси главными осями инерции.

Главные оси инерции, проходящие через центр тяжести сечения, называют главными центральными осями инерции.

Найти положение главных осей инерции не сложно. Для этого достаточно воспользоваться выражением (2.9). Итак, пусть имеется некоторая система координат x, y, в которой все моменты инерции площади известны (рис. 2.5). Найдем угол 0, на который необходимо повернуть исходную систему координат, чтобы получить систему координат u, v, относительно которой Iuv=0. На основании (2.9)

Уравнению (2.10) удовлетворяют два значения 2 0, отличающиеся на 1800 или два значения 0, отличающиеся на 900. Таким образом, уравнение (2.10) дает нам положение двух осей, составляющих между собой прямой угол. Это и будут главные оси инерции u и v.

Главные оси инерции обладают очень важным качеством – осевые моменты инерции площади относительно этих осей имеют экстремальные значения. Убедится в этом не

сложно. Достаточно исследовать на экстремум функцию Ix1 , приведенную в (2.6),

dIx1 Ix 2cos sin Iy 2sin cos Ixy 2cos2 0, d

Ix Iy sin 2 Ixy 2cos2 0,

tg2 2Ixy . Iy Ix

Очевидно, что экстремальные значения будут при угле = 0, определяемое по (2.10). Значит осевые моменты инерции Iu и Iv – экстремальные, т.е. Iu > Ix, Iy > Iv.

Следует отметить, что если за исходную систему координат принять систему главных осей инерции u, v, то выражения (2.6)-(2.8) преобразуются к виду.

Величины осевых моментов инерции площади можно вычислить по формулам (2.6), (2.7) предварительно определив угол поворота систему координат по формуле (2.10). Однако можно обойтись и без вычислений угла. С этой целью используем зависимости (2.10)-(2.12). Вычтем из (2.11) выражение (2.12)

Используя (2.10), имеем

Поставляя полученное выражение в (2.14), получим

На основании (2.8) запишем условие инвариантности суммы осевых моментов инерции площади:

Ix Iy Iu Iv .

Суммируя и вычитая последнее равенство с (2.15) получим

Иногда, для сокращения записей формулы (2.16) записывают в виде:

Имея значения осевых моментов инерции относительно главных осей Iu, Iv можно найти угол наклона каждой из главных осей к оси x исходной системы координат:

Однако, корень 1, полученный подстановкой в выражение (2.17) Iu дает положение оси v, и наоборот, корень 2, полученный подстановкой в выражение (2.17) Iv дает положение оси u. Дабы избежать путаницы используем условие 1- /2= 2, и углы до соответствующих осей обозначим u и v. Тогда

Формулы (2.18), (2.19) наиболее удобны в плане практического использования, поскольку четко отражают какой угол, к какой из осей необходимо откладывать. Как и в формуле (2.10) положительный угол откладывается от оси x в направлении против часовой

17

стрелки. Однако формулы (2.18), (2.19) возможно использовать только при условии, что осевые моменты инерции площади относительно главных осей известны, либо они должны быть предварительно вычислены по (2.16). Формула (2.10) позволяет вычислить угол до одной из главных осей инерции (причем какая это ось формула не указывает) без определения осевых моменты инерции площади относительно главных осей инерции.

В заключении следует отметить, что если хотя бы одна из координатных осей сечения является осью симметрии, то центробежный момент инерции площади будет равен нулю, и, как следствие, такие оси будут главными осями инерции. Очевидно, что для фигур, имеющих много осей симметрии (круг, квадрат, правильные многоугольники и пр.) количество главных осей может быть больше двух.

ЛЕКЦИЯ № 3. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТАТИКИ. АКСИОМЫ СТАТИКИ. СИСТЕМА СИЛ.

Теоретическая механика изучает равновесие и движение твердого тела; состоит из трех частей: статики, кинематики, динамики. Сопротивление материалов и строительная механика изучают методы расчетов на прочность, жесткость и устойчивость соответствующих конструкций.

3.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТАТИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Статика - это учение о равновесии тел под действием приложенных к ним сил. Равновесию тела соответствует равновесие сил, поэтому статика есть одновременно учением о равновесии сил, действующих на тело.

Сила – это мера механического взаимодействия между материальными объектами. Сила определяет интенсивность взаимодействия (некоторое её количественное

значение), его пространственную направленность и то место в пространстве, в котором взаимодействие происходит. Таким образом, сила имеет три основных параметра, - величину, направление и место (точку) действия, - и поэтому ее математически можно обозначить некоторой векторной величиной, которая имеет скалярное значение, направление и точку приложения. Количественное значение силы в системе СИ имеет размерность «Ньютон» («Н»). При решении задач, связанных со строительными конструкциями, как правило, силы имеют значения тысяч Ньютон, поэтому наиболее удобно использовать производную единицу - «килоНьютон» («кН»).

Рис.3.1

Сосредоточенная сила – это характеристика механического взаимодействия между двумя телами, которое происходит в одной конкретной точке рассматриваемого тела. Она изображается на схемах как вектор, приложенный к конкретной точке тела (рис.3.1).

19

Рис.3.3.

Отсутствие изменения состояния фонаря во времени позволяет также говорить о том, что к фонарю приложена уравновешенная система сил. При этом силы S1 и S2, позволяющие уравновесить вес фонаря G, появляются в связях и носят название реакций связей.

Реакцией связи называется механическое взаимодействие рассматриваемого тела с тем телом, которое ограничивает его перемещение. Направление реакции связи противоположно направлению, в котором внешняя связь препятствует движению тела. Если в месте соприкосновения тела и связи отсутствует трение, то связь называется идеальной связью.

3.2. АКСИОМЫ СТАТИКИ

Все основные положения статики выводятся на основании нескольких аксиом, которые сформулированы на основе наблюдения и изучения явлений окружающего нас реального мира.

Аксиома инерции: под действием уравновешенной системы сил тело находится в состоянии покоя или движется прямолинейно и равномерно.

Аксиома равновесия двух сил: тело находится в состоянии равновесия, если к нему приложены две равные по величине и противоположные по направлению силы, имеющие общую линию действия.

À

P

Рис.3.4.

Аксиома присоединения или исключения уравновешенных систем сил: состояние абсолютно твердого тела не изменится, если к нему присоединить или отбросить уравновешенную систему сил.

Проиллюстрировать суть аксиомы присоединения или исключения уравновешенных систем сил можно на основе рис. 3.5. Пусть некоторому абсолютно твердому телу была приложена уравновешенная система сил P. Добавим к этому телу дополнительную систему сил F. Тогда, если система сил F является уравновешенной, то состояние абсолютно твердого тела не изменится.

20

Аксиома параллелограмма сил: если линии действия двух сил пересекаются, то их равнодействующая есть диагональ параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах.

Величина равнодействующей при этом определяется по теореме косинусов:

R F1 F2

R F12 F22 2F1F2 cos(1800 )

F12 F22 2F1F2 cos ;

Рис.3.6.

Направление равнодействующей может быть определено по теореме синусов:

Рис.3.8.

Аксиома затвердевания: если деформируемое тело под действием системы сил находится в равновесии, то последнее не изменится, если тело затвердеет.