3lk_0
.pdf
так как при повороте на угол φ = 2π ничего не должно меняться. Отсюда:
eim eim 2π .
Это равенство выполняется только для целых m (показать самостоятельно), что приводит к дискретному спектру проекций момента импульса:
ˆ |
M z |
m , |
M z mh , m 0, 1, 2, |
(4в) |
M z |
Собственные функции этого оператора можно нумеровать целым числом m. Уравнение:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ 2 |
|
|
|
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
в сферических координатах: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
h |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
M |
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
θ |
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
sin θ |
θ |
|
|
θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
сводится к известному уравнению Штурма-Лиувилля: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
sin θ θ |
|
θ |
sin 2 θ 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
M |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5)
(Ш-Л)
Это дифференциальное уравнение второго порядка, в частных производных
решается с помощью подстановки
θ, F θ .
Конечные решения этого уравнения ( θ, ), которые представляют интерес для квантовой механики, получаются только для положительных целых чѐтных λ:
λ |
M2 |
|
l l 1 , |
M2 |
h2l l 1 , |
(6) |
|||||
h2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где l – натуральные числа, |
|
включая ноль. |
Поэтому, спектр |
собственных |
|||||||
ˆ |
2 |
также дискретен. Его собственные функции можно |
|||||||||
значений оператора M |
|
||||||||||
нумеровать натуральным целым квантовым числом l: |
|
||||||||||
|
|
ˆ 2 |
|
2 |
l l 1 l θ, . |
(7) |
|||||
|
|
M |
l θ, h |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
2 |
оказывается вырожденным. |
||
Спектр собственных значений оператора M |
|
||||||||||
Каждому собственному значению
h2l l 1
соответствуют (2l+1) разных функций Ψl, различающихся проекциями момента импульса на ось Z. Чтобы их различать, для вырожденных функций вводят дополнительный нумератор - квантовое число проекции импульса m, принимающий целые положительные и отрицательные значения при
заданном l:
l m l
Функции Ψlm(θ,φ) хорошо изучены и их можно представить в виде:
|
|
|
|
θ, C |
|
|
|
|
|
|
|
cosθ eim , |
|
|||||||||||||||
P |
|
m |
|
|
(8) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
lm |
|
|
|
lm |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
Pl x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Pl |
|
m |
|
x ( 1)m 1 x2 |
|
|
m |
|
|
|
d |
|
m |
|
, |
|
m |
|
0, 1, 2, , l |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(8а) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
присоединѐнные полиномы Лежандра, выражающиеся через простые полиномы Лежандра, Pl(x), для которых существует воспроизводящий функционал:
P x |
1 |
|
d l |
x2 1 l . |
(8б) |
|
|
||||
l |
2l l! dxl |
|
|||
|
|
||||
Требование нормировки функций Ψlm, наряду с ортогональностью, можно записать в виде:
|
lm |
|
|
l m |
|
|
ll |
|
mm , |
(8в) |
|||||||||
|
θ, θ, sin θdθd δ |
δ |
|
|
|||||||||||||||
Ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда следует, что константы Clm в выражении (8) должны быть: |
|
||||||||||||||||||
|
Clm |
|
|
l |
|
|
|
m |
|
|
|
! |
(2l 1) |
|
. |
|
|
(8г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
l |
|
|
m |
|
|
! |
4π |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Функции (8) известны в математической литературе под названием сферические и имеют обозначения:
|
|
|
θ, Y m θ, . |
(9) |
|
|
lm |
l |
|
ˆ 2 |
ˆ |
коммутируют (теорпрактикум) и поэтому могут |
|
|
Операторы M |
и M z |
|
||
Рис.5.Рельеф реальной части функции Y32 θ,
иметь общие собственные функции, согласно теореме 4. Этими функциями как раз и являются сферические, так как наряду с равенством (7) имеет место равенство:
ˆ |
lm θ, mh lm θ, . |
(10) |
Mz |
ˆ |
2 |
заключается в |
Физическая причина вырождения спектра оператора M |
|
том, что при заданной величине момента импульса 
l(l 1) h , он может
располагаться относительно оси Z |
(2l + 1) способом, а состояния с разными |
проекциями m, описываются разными функциями (8). |
|
Z L(1) |
|
m = 2 |
|
m = 1 |
L(2) |
|
|
m = 0 |
L(3) |
m = -1 |
L(4) |
|
|
m = -2
L(5)
Рис.6. Возможные значения проекций на ось Z для момента импульса, определяемого квантовым числом l = 2
На рисунке 6 представлены возможные проекции момента импульса с квантовым числом l = 2.