- •Краткий конспект лекций
- •Транспонирование матрицы
- •Квадратная матрица
- •Определитель квадратной матрицы
- •Минор и алгебраическое дополнение
- •;. Свойства определителей
- •Практическое правило вычисление определителей
- •Обратная матрица
- •Ранг матрицы
- •Базисный минор матрицы
- •Эквивалентность матриц
- •Тема 1.2. Системы линейных алгебраических уравнений (слау)
- •Правило Крамера
- •Матричный метод
- •Метод Гаусса
- •Тема 1.3. Общее исследование систем линейных алгебраических уравнений
- •Теорема Кронекера‑ Капелли. Система линейных алгебраических уравнений (1.4) совместная тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов систем уравнений равняется рангу расширенной матрицы: .
- •Определение 1.19. Рангом совместной системы линейных алгебраических уравнений называется ранг ее матрицы .
Практическое правило вычисление определителей
При вычислении определителей широко используются формулы разложения по строке или столбцу (теорема Лапласа), а также свойство, позволяющее, не изменяя величины определителя, преобразовать его к такому виду, когда какой-либо ряд содержит максимально возможное число нулей. Именно этот ряд рационально принять в качестве ряда для разложения по Лапласу. Такой подход к вычислению определителей называется правилом понижения порядка.
Задача 1.2.Вычислить определитель
В качестве ряда для разложения рационально использовать вторую строку, которая содержит два нулевых элемента. Для уменьшения объема последующих вычислений можно добиться большего числа нулей в этой строке. Работать будем со столбцами. Сложим соответствующие элементы второго и третьего столбцов и запишем результат на месте третьего столбца.
Используя свойство 8, добавим к элементам второго столбца соответствующие элементы четвертого столбца, умноженные на число 2. Получим
Далее разложим определитель по элементам второй строки.
.
Теперь в определителе четвертого порядка добьемся наибольшего числа нулей в третьей строке. Для этого умножим на элементы первой строки и сложим их с соответствующими элементами третьей строки.
.
Разложим определитель четвертого порядка по элементам третьей строки
.
В определителе третьего порядка добьемся наибольшего числа нулей во втором столбце. Будем работать со строками. Все элементы первой строки умножим на число и сложим с соответствующими элементами третьей строки
.
Применим теорему Лапласа, выбрав в качестве ряда для разложения второй столбец. Получим:
.
Наконец, вычисляя определитель второго порядка, окончательно имеем
Обратная матрица
Одно из важнейших свойств умножения чисел состоит в том, что для каждого числа , отличного от нуля, существует обратноетакое, что
.
Оказывается, что нечто подобное имеет место и для матриц, причем роль условия играет условие, состоящее в том, что определитель матрицыотличен от нуля.
Определение 1.13.Квадратная матрица называетсяневырожденной, если ее определитель не равен нулю. В противном случаематрица называетсявырожденной.
Определение 1.14.Матрицаназывается обратной по отношению к матрице, если выполняется соотношение:
.
Условие существования обратной матрицы сформулируем в виде теоремы.
Теорема 1.1.Для того, чтобы квадратная матрицаимела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.
Обратная матрица находится по следующей схеме:
1. Вычисляется определитель исходной квадратной матрицы-го порядка.
2. Формируется матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов исходной квадратной матрицы. Такая матрица называетсясоюзной по отношению к матрицеи обозначается:
.
3. Транспонируют союзную матрицу, определяя тем самым так называемую присоединенную матрицу. Такая матрица обозначаетсяи выглядит следующим образом:
.
4. Обратная матрица по отношению к матриценаходится по формуле:
.
Задача 1.3.Дана матрица. Найти обратную матрицу по отношению к заданной.
Вычислим определитель матрицы .
.
Матрица невырождена, следовательно, обратная матрица существует.
Найдем алгебраические дополнения элементов определителя.
;;;
;;;
;;.
Формируем союзную матрицу
.
Определим присоединенную матрицу
.
Найдем обратную матрицу по отношению к матрице:
.