Краткий конспект лекций

по дисциплине

«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»

(академічна різниця)

Холод О.Г., канд. техн. наук, доцент,

Швачич Г.Г., канд. техн. наук, доцент

Раздел 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Тема 1.1. Матрицы. Действия над матрицами

Определение 1.1.Матрицей размерностиназывается прямоугольная таблица из чисел, содержащаястрок истолбцов.

Согласно определению, матрица размерности имеет вид:

.

Числа иназываются порядками матрицы. Числа, образующие матрицу, называются ее элементами. Индексыиэлементауказывают соответственно на номера строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Матрицу можно записать сокращенно в виде

,

где .

Определение 1.2.Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

Равенство матриц

Сравнивать можно только матрицы одинаковой размерности.

Определение 1.3.Две матрицыиназываются равными, если они имеют одинаковые порядки, а соответствующие элементы равны между собой. Таким образом,, еслидля всех значений.

Операции над матрицами

К операциям над матрицами относятся: сложение (вычитание) матриц, умножение матрицы на скаляр (число), умножение матриц.

1. Сложение (вычитание) матриц

Складывать (вычитать) можно только матрицы одной размерности.

Определение 1.4. Суммой матрициназывается матрицатого же порядка, элементы которойопределяются равенством

.

Аналогично определяется разность двух матриц.

Заметим, что операция сложения (вычитания) матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения (вычитания) вещественных чисел.

2. Умножение матрицы на число

Определение 1.5.Произведением матрицына вещественное числоназывается матрицатой же размерности, что и матрица А, элементы которой равны

.

То есть, при умножении матрицы на число, на это число умножаются все элементы матрицы.

3. Умножение матриц

Определение 1.6.Произведением матрицы, имеющей порядки соответственно равныеи, на матрицу, имеющую порядки соответственно равныеи, называется матрица, имеющая порядки соответственнои, элементы которойопределяются по формуле

(1.1)

Другими словами, матрицу можно умножить на матрицутогда и только тогда, когдачислостолбцов матрицы соответствует числу строк матрицы.Формула (1.1) дает правило вычисления элементов матрицы-произведения, называемое правилом "строка–столбец", которое может быть сформулировано следующим образом:элемент матрицыравен сумме попарных произведений соответствующих элементов-й строки матрицыи-го столбца матрицы.

Задача 1.1.Найти произведение матриц ,если последнее существует:

,

По правилу "строка–столбец" получим

Транспонирование матрицы

Определение 1.7.Транспонированием матрицы называется замена строк этой матрицы ее столбцами с сохранением их номеров. Матрица, полученная таким образом из матрицы, называетсятранспонированнойпо отношению к матрицеи обозначается.

Например, если , то

Может оказаться, что квадратная матрица совпадает со своей транспонированной матрицей, т.е.. В этом случае матрицаназываетсясимметричной.

Квадратная матрица

Если в матрице порядки иравны, то она называетсяквадратной, а числоназывается ее порядком. Квадратная матрица имеет вид

.

Для квадратной матрицы вводят понятие главной и побочной диагоналей. Главной диагональюквадратной матрицы называется диагональ, идущая из левого верхнего угла в правый нижний ее угол,побочной диагональютой же матрицы – диагональ, идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.

Определение 1.8.Квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю, называетсядиагональной.

Определение 1.9.Диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, называетсяединичнойи обозначается. Например,

.

С каждой квадратной матрицей связывают вполне определенную числовую характеристику, которая называется ее определителем или детерминантом.