Розв’язання
1. Ідентифікуємо змінні моделі:
—продуктивність
праці, залежна змінна;
—затрати
на прикладні дослідження, незалежна
змінна.
2. Специфікуємо економетричну модель у лінійній формі:
;
.
3. Оцінка параметрів моделі на основі оператора оцінювання Бартлета.
3.1.
Впорядкуємо значення залежної змінної
X
від меншого до більшого і,
відповідно до
значень
,
впорядкуємо залежну змінну Y.
3.2.
Знайдемо відхилення значень змінної
від медіани для 1 і 3 груп та середні цих
відхилень:
;
;
3.3.
Визначимо середні значення залежної
змінної, які відповідають середнім
значенням
:
;
.
3.4. Визначимо оцінки параметрів моделі:
;
.
Економетрична модель запишеться так:
(2)
Порівняємо оцінки параметрів цієї моделі з оцінками моделі на основі оператора Вальда:
(1)
Як
видно, вільний член моделі, параметри
якої оцінені на основі оператора
Бартлета, зменшився на 1,09,
а оцінка параметра
збільшилась на0,05
одиниці.
Щоб визначити якість цієї моделі, розрахуємо дисперсії:
4.
Загальна дисперсія:
;
Залишкова
дисперсія:
.
5. Визначимо коефіцієнти кореляції і детермінації:
5.1.
;
5.2.
.
6. Аналіз економетричної моделі.
Коефіцієнти
детермінації і кореляції свідчать про
те, що побудована модель є достовірною:
зв’язок, який вона кількісно описує,
є досить тісним. Так, коефіцієнт
детермінації
показує, що на 84,3%
варіація продуктивності праці визначається
варіацією затрат на прикладні дослідження.
Оцінка параметра
визначає граничну зміну продуктивності
праці, якщо затрати на прикладні
дослідження зміняться на одиницю.
Оператор оцінювання Дарбіна
Дарбін
запропонував впорядковувати вектор
пояснюючoї змінної
у
порядку зростання і ввів як інструментальну
змінну порядковий номер (ранг), тобто
числа 1, 2, 3, 4 ... n.
Метод Дарбіна можна застосовувати й
тоді, коли модель містить декілька
пояснюючих змінних. У
цьому випадку спочатку знаходять
відхилення значень кожної змінної від
свого середнього значення, потім
ці відхилення впорядковуються в порядку
зростання і кожному з них присвоюється
порядковий номер.
Приклад 7.3. На основі даних, які наведені у табл. 7.3, необхідно побудувати економетричну модель, що характеризує залежність витрат на харчування від загальних затрат.
Таблиця 7.3
|
Рік |
1-й |
2-й |
3-й |
4-й |
5-й |
6-й |
7-й |
8-й |
|
Загальні
затрати
|
45 |
92 |
75 |
125 |
146 |
223 |
227 |
368 |
|
Витрати на харчування Y |
21,8 |
47,3 |
33,4 |
50,3 |
66,0 |
66,9 |
81,0 |
106,0 |
Вказівка: Зважаючи на те, що вихідні дані базуються на соціологічних бюджетних дослідженнях, вони можуть мати помилки виміру.
Розв’язання
1. Ідентифікуємо змінні.
Y — витрати на харчування, залежна змінна;
X — загальні затрати, незалежна змінна.
2. Специфікуємо модель у лінійній формі:
;
.
3. Оцінимо параметри моделі методом інструментальних змінних, використавши оператор Дарбіна для моделі з двома змінними
,
де
— інструментальна змінна;
.
3.1.
Введемо інструментальну змінну
замість незалежної змінноїX.
Для цього впорядкуємо значення змінної
у
порядку зростання (табл. 7.4):
Таблиця 7.4
|
Рік |
1-й |
2-й |
3-й |
4-й |
5-й |
6-й |
7-й |
8-й |
|
|
45 |
75 |
92 |
125 |
146 |
223 |
227 |
368 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
3.2. Розрахуємо оцінки параметрів моделі на основі оператора Дарбіна:
;
;
.
4. Економетрична модель має вигляд:
.
Оцінку
параметрів цієї моделі
можна трактувати так: при збільшенні
доходу на одиницю граничне зростання
витрат на харчування становить
0,344
одиниці. Наявність вільного члена
моделі (оцінка параметра
) свідчить про те, що існують інші чинники,
крім доходу, які можуть певною
мірою
формувати витрати на харчування.
5. Розглянемо оцінку параметрів економетричної моделі з декількома пояснюючими змінними на основі методу інструментальних змінних.
Приклад 7.4. Нехай треба побудувати економетричну модель продуктивності праці на основі даних, які наведені у табл. 7.5
Таблиця 7.5
|
Номер спостере-ження |
Продук-тивність праці
|
Фондо-міст-кість
|
Затрати на прикладні дослід-ження
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
1 |
5,3 |
8,5 |
20 |
5,5045 |
–1,26 |
0,0418 |
1,5876 |
|
2 |
5,5 |
8,8 |
21 |
5,6855 |
–1,06 |
0,0344 |
1,1236 |
|
3 |
5,7 |
8,9 |
21 |
5,7376 |
–0,86 |
0,0014 |
0,7396 |
|
4 |
5,9 |
9,1 |
23 |
5,8910 |
–0,86 |
0,00008 |
0,4356 |
|
5 |
6,2 |
9,3 |
25 |
6,0445 |
–0,66 |
0,0242 |
0,1296 |
|
6 |
6,4 |
9,5 |
26 |
6,1733 |
–0,36 |
0,0514 |
0,0256 |
|
7 |
6,6 |
9,7 |
27 |
6,3022 |
–0,16 |
0,0886 |
0,0016 |
Закінчення табл. 7.5
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
8 |
6,7 |
10,1 |
27 |
6,5107 |
0,04 |
0,0359 |
0,0196 |
|
9 |
6,4 |
10,4 |
28 |
6,9616 |
0,14 |
0,0850 |
0,0256 |
|
10 |
6,9 |
10,6 |
28 |
6,7959 |
–0,16 |
0,0108 |
0,1156 |
|
11 |
7,0 |
11,3 |
27 |
7,1361 |
0,34 |
0,0185 |
0,1936 |
|
12 |
7,3 |
11,7 |
26 |
7,3200 |
0,44 |
0,0004 |
0,5476 |
|
13 |
7,5 |
11,8 |
27 |
7,3967 |
0,74 |
0,0107 |
0,8836 |
|
14 |
7,4 |
11,9 |
27 |
7,4488 |
0,94 |
0,0024 |
0,7056 |
|
15 |
7,6 |
12,5 |
27 |
7,7616 |
0,84 |
0,0260 |
1,0816 |
|
|
98,4 |
154,1 |
380 |
|
|
0,4318 |
7,616 |
