Таблиця 6.7

Робітник	Продуктивність праці на устаткуванні, грн/год
	1	2	3	4
1	12	9	8	7
2	10	7	6	5
3	9	6	4	4
4	8	5	3	2

Розв’язання. Зазначимо, що дану задачу можна розглядати як транспортну, в якій робітники ототожнюються з постачальниками вантажів, а види устаткування — зі споживачами цих вантажів. Обсяги пропозиції та попиту в кожному разі дорівнюють одиниці. Отже, змінні будуть бульовими:

Якщо відома продуктивність праці і-го робітника на j-му устаткуванні, то числова модель про призначення набуває вигляду:

за умов:

;

;

;

;

;

;

;

.

;

—цілі числа .

З огляду на особливу структуру цієї задачі, зокрема на її «транспортний» характер та рівність правих частин обмежень, для її розв’язування можна застосувати ефективніший алгоритм, ніж для звичайної задачі цілочислового програмування з бульовими змінними. Пропонуємо читачеві ознайомитися з такими алгоритмами, які детально описані в літературі [12].

Заключні зауваження

Поява вимоги цілочисловості в економічних задачах є досить очевидною і пов’язана з наявністю у моделях параметрів, які можуть набувати тільки цілих значень. Нелінійність, яка випливає з вимог цілочисловості змінних, є незначною. Тому цілочислове програмування часто розглядають як розділ математичної оптимізації лінійних моделей, в яких на деякі чи всі змінні накладено умову цілочисловості.

Зауважимо, що задачі цілочислового програмування є частковим випадком загальнішого типу задач — дискретної оптимізації. Вимоги дискретності змінних, якщо не в явному вигляді, то в прихованій формі властиві багатьом практичним типам задач, що забезпечує дуже широке коло застосування дискретного програмування в багатьох теоретичних і прикладних дисциплінах. Задачі проектування, планування, розміщення, класифікації і управління добре формалізуються за допомогою різних моделей дискретного програмування.

Особливої актуальності нині набувають проблеми вивчення ефективності методів і відповідних програмних засобів, оцінки точності розв’язків, які отримано за допомогою наближених методів, дослідження стійкості математичних моделей, побудови діалогових пакетів прикладних програм, що уможливлюють проведення досліджень в інтерактивному режимі.

Контрольні запитання

1. Яка задача математичного програмування називається цілочисловою?

2. Наведіть приклади економічних задач, що належать до цілочислових.

3. Як геометрично можна інтерпретувати розв’язок задачі цілочислового програмування?

4. Охарактеризуйте головні групи методів розв’язування задач цілочислового програмування.

5. Опишіть алгоритм методу Гоморі.

6. Що означає «правильне відтинання»?

7. Опишіть алгоритм методу гілок та меж.

Приклади та завдання для самостійної роботи

Задача 6.1. Розв’яжіть задачі цілочислового програмування методом Гоморі.

1. 2)

Задача 6.2. На основі умовно-оптимального плану задачі цілочис­лового програмування побудуйте допоміжне обмеження Гоморі і приєднайте його до останньої симплексної таблиці, знайдіть цілочислові розв’язки задачі або покажіть, що вони не існують.