- •5.5.2. Метод потенціалів розв’язування транспортної задачі
- •Таблиця 5.10 Вартість транспортування продукції
- •Таблиця 5.11
- •Таблиця 5.13
- •Таблиця 5.14
- •Таблиця 5.15
- •Таблиця 5.16
- •Таблиця 5.17
- •Таблиця 5.18
- •5.6. Транспортна задача з додатковими умовами
- •Таблиця 5.19
- •Таблиця 5.20
- •Таблиця 5.21
- •5.7. Двохетапна транспортна задача
- •Таблиця 5.23
- •Таблиця 5.24
- •Таблиця 5.25
- •Таблиця 5.26
- •Таблиця 5.27
- •5.8. Транспортна задача за критерієм часу
- •Таблиця 5.28
- •Таблиця 5.29
- •Таблиця 5.30
- •Таблиця 5.31
- •Таблиця 5.32
- •5.9.2. Метод потенціалів на мережі
- •Таблиця 5.33
- •Таблиця 5.34
Таблиця 5.28
Ai |
Bj | |||
b1 = 8 |
b2 = 12 |
b3 = 16 |
b4 = 14 | |
а1 = 10 |
1 |
3 |
4 |
5 |
а2 = 11 |
2 |
5 |
1 |
3 |
а3 = 20 |
3 |
2 |
8 |
4 |
а4 = 9 |
1 |
4 |
3 |
2 |
1. Знаходимо мінімальний елемент з . В даному разі це 1, позначимо його через.
2. Розв’язуємо допоміжну задачу, де забороненими для перевезень є всі клітини, для яких >(у табл. 5.29 сірим кольором виділені заборонені клітини).
Таблиця 5.29
Ai |
Bj | |||
b1 = 8 |
b2 = 12 |
b3 = 16 |
b4 = 14 | |
а1 = 10 |
1 8 |
3 |
4 |
5 |
а2 = 11 |
2 |
5 |
1 16 |
3 |
а3 = 20 |
3
|
2 |
8 |
4 |
а4 = 9 |
1 — |
4 |
3 |
2 |
Задача розв’язана, проте план не оптимальний.
3. Знаходимо мінімальний елемент серед клітин, що є забороненими для перевезень. Наступний мінімальний елемент дорівнює двом. Отже, .
4. Приєднуємо до відкритих для перевезень клітин ті, для яких , і знову розв’язуємо допоміжну задачу.
Таблиця 5.30
Ai |
Bj | |||
b1 = 8 |
b2 = 12 |
b3 = 16 |
b4 = 14 | |
а1 = 10 |
1 8 |
3 |
4 |
5 |
а2 = 11 |
2 |
5 |
1 11 |
3 |
а3 = 20 |
3 |
2 12 |
8 |
4 |
а4 = 9 |
1 |
4 |
3 |
2 9 |
Отриманий розв’язок (табл. 5.30) також не оптимальний.
5. Вибираємо наступний мінімальний елемент: .
6. Розв’язуємо наступну допоміжну задачу:
Таблиця 5.31
Ai |
Bj | |||
b1 = 8 |
b2 = 12 |
b3 = 16 |
b4 = 14 | |
а1 = 10 |
1 8 |
3 2 |
4 |
5 |
а2 = 11 |
2 |
5 |
1 11 |
3 |
а3 = 20 |
3 |
2 10 |
8 |
4 |
а4 = 9 |
1 |
4 |
3 |
2 9 |
Це також не дає оптимального розв’язку (табл. 5.31).
7. Вибираємо мінімальний елемент .
8. Розв’язуємо задачу:
Таблиця 5.32
Ai |
Bj | |||
b1 = 8 |
b2 = 12 |
b3 = 16 |
b4 = 14 | |
а1 = 10 |
1 8 |
3 2 |
4 |
5 |
а2 = 11 |
2 |
5 |
1 11 |
3 |
а3 = 20 |
3 |
2 10 |
8 |
4 10 |
а4 = 9 |
1 |
4 |
3 5 |
2 4 |
Умови оптимальності в табл. 5.32 виконуються, отже, цей план оптимальний. Звідси minТ = 4.
5.9. Розв’язування транспортної задачі на мережі
Серед сучасних методів оптимізації і керування виробничими процесами значна роль належить мережевим методам. Широке коло задач математичного програмування можна подати в мережевому вигляді. Особливо це стосується транспортних задач, які мають цілком природну інтерпретацію як мережеві задачі, бо вони пов’язані з певною мережею транспортних маршрутів (доріг, залізничних, водяних шляхів, маршрутів повітряних трас, трубопроводів тощо). У цьому параграфі буде розглянуто кілька типових мережевих задач математичного програмування.
Назвемо графом будь-яку систему відрізків (прямолінійних чи криволінійних), у певний спосіб з’єднаних між собою (рис. 5.2).
Н
Рис.
5.2.
Точки, що є кінцями або початками дуг графів, в яких можуть з’єднуватись дві дуги або більше, називаються вершинами графа: кожна з вершин позначається певним номером (натуральним числом: 1, 2, 3, 4, ...), наприклад, точки 1, 2, 3, — вершини (рис. 5.2).
Отже, кожній дузі відповідає впорядкована пара вершин , де перший індексі означає початок дуги (вхід), другий індекс j — кінець дуги (вихід); тим самим задано орієнтацію (напрям) дуги, що геометрично зображається стрілкою в напрямі від початку до кінця дуги.
Дуги таназиваються симетричними, або взаємними, наприклад: (2, 4) і (4, 2).
Ребром (або ланкою) графа називається ненапрямлений відрізок, що зображає дугу. Позначимо ребра символами , наприклад[5, 7] — ребро; тоді як для відповідних дуг ця рівність не справджується: .
Мережею (або сіттю) називається граф, елементам якого (дугам, вершинам, деяким їх сукупностям) поставлені у відповідність деякі параметри, що визначають їх властивості.
Такими параметрами можуть бути, наприклад, пропускні здатності шляхів, величини запасів чи потреб у певних пунктах — вершинах графа тощо.
Шляхом у графі називається послідовність дуг , кінець кожної з яких збігається з початком наступної, крім останньої (або початок кожної з яких збігається з кінцем попередньої, крім першої), тобто ...,.
Шлях зручно позначати послідовністю вершин, через які він проходить, тобто . Прикладом шляху є послідовність таких дуг (1, 2), (2, 3), (3, 5) або (1,2, 3, 5).
Контуром називається шлях, початкова вершина якого збігається з кінцевою, наприклад (1, 2), (2, 3), (3, 5), (5, 1) = (1, 2, 3, 5, 1).
Граф називається сильно (чи міцно) зв’язаним, якщо будь-які його вершини ііjможна з’єднати шляхом, що йде зівj.
Якщо в означеннях шляху, контуру і сильної зв’язаності графа поняття дуги замінити поняттям ребра, то дістанемо означення ланцюга, циклу і зв’язаності графа.
Легко збагнути, що ребра дуг, які утворюють шлях і контур, завжди утворюють відповідно ланцюг і цикл, проте зворотне твердження не справджується. Це саме стосується і зв’язаності: зв’язаний граф не обов’язково буде міцно зв’язаним.
Ланцюг і цикл позначають аналогічно до шляху і контуру, проте замість круглих використовують квадратні дужки, наприклад, ланцюг [1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 6], або [1, 2, 3, 4, 6]; цикл [1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 6], [6, 1], або [1, 2, 3, 4, 6, 1]; відповідні послідовності дуг не завжди є шляхами чи контурами.
Деревом називається граф, який не має циклів і в якому кожна вершина зв’язана з будь-якою іншою деяким ланцюгом ребер.
5.9.1. Транспортна задача у мережевій формі
Нехай задано граф із скінченною кількістю вершин і ребер. Поставимо у відповідність кожній вершині деяке число (і = 1, 2, ..., m), яке назвемо інтенсивністю i-ої вершини, а кожній дузі (іj) — число — пропускну здатність (іj)-ої дуги, відносячи ці величини до певного відрізка часу t (0 < t < ), наприклад, до певної одиниці часу. За цих умов скінченний граф перетворюється в мережу (сіть). Позначимо черезневідому величину, що означає обсяг деякої продукції, яку переміщають по (ij)-й дузі за деякий відрізок часу. Тоді для цього самого відрізка часу для кожної k-ої вершини графа можна записати таку балансову рівність:
. (5.42)
Справді, перша сума означає сумарний обсяг певної продукції, що протягом означеного часу прибуває в k-ту вершину по дугах, а друга сума означає сумарний обсяг цієї продукції, що вибуває подугах зk-ої вершини за той самий час. Отже, є обсягом розглядуваної продукції, який споживається (акумулюється) вk-ій вершині, а є обсягом цієї продукції, який виділяється (продукується) вершиною за згаданий відрізок часу. Вершину, для якої, називатимемостоком, а вершину, для якої —джерелом. Вершини, в яких , назвемонейтральними.
Природно вважати змінні іневід’ємними і обмеженими зверху числамиі, так що:
. (5.43)
У свою чергу, можна вважати, що величини іможуть змінюватися в таких межах:
. (5.44)
Рівняння (5.42) можна трактувати як рівняння безперервності потоку розглядуваної продукції по певній мережі (доріг, трубопроводів і т. п.) в деякому околі k-ої вершини (пункту). Прикладом може бути рівняння збереження кількості рідини, що проходить по трубопровідній мережі.
Можна поставити вимогу, щоб за заданих величин інтенсивностей джерел та стоків і величин пропускних здатностей дугзнайдені значення невідомихзадовольняли деякий критерій оптимальності, наприклад, надавали мінімального значення лінійній функції:
. (5.45)
Легко помітити, що сформульована сітьова транспортна задача (5.42)—(5.45) є узагальненням звичайної транспортної задачі (5.1)—(5.4) за умови наявності проміжних пунктів перевезень і обмежених пропускних здатностей шляхів сполучення.