8.6.1. Опуклі й угнуті функції

Наведемо основні означення та теореми. Нехай задано n-вимірний лінійний простір Rⁿ. Функція , що задана на опуклій множині , називається опуклою, якщо для будь-яких двох точок та з множини X і будь-яких значень виконується співвідношення:

. (8.27)

Якщо нерівність строга і виконується для , то функція називається строго опуклою.

Функція , яка задана на опуклій множині , називається угнутою, якщо для будь-яких двох точок та з множини X і будь-якого справджується співвідношення:

. (8.28)

Якщо нерівність строга і виконується для , то функція називається строго угнутою.

Слід зазначити, що опуклість та угнутість функції визначаються лише відносно опуклих множин у , оскільки за наведеними означеннями разом з двома будь-якими точками та множині X належать також точки їх лінійної комбінації: для всіх значень , що можливо лише у разі, коли множина X є опуклою.

Теорема 8.2. Нехай — опукла функція, що задана на замкненій опуклій множині X, тоді будь-який локальний мінімум на цій множині є і глобальним.

Доведення. Допустимо, що в точці функція має локальний мінімум, тоді як глобальний мінімум досягається в точці , отже, виконуватиметься нерівність . Через те що — опукла функція, для будь-яких значень справджується співвідношення:

. (8.29)

Множина Х опукла, тому точка при також належить цій множині. Враховуючи, що , нерів­ність (8.29) матиме вигляд:

;

.

Значення можна вибрати так, щоб точка була розташована як завгодно близько до . Тоді отримана остання нерівність суперечить тому, що — точка локального мінімуму, оскільки існує як завгодно близька до неї точка, в якій функція набуває меншого значення, ніж у точці . Тому попереднє допущення неправильне. Теорему доведено.

Теорема 8.3. Нехай — опукла функція, що визначена на опуклій множині Х, і крім того, вона неперервна разом з частинними похідними першого порядку в усіх внутрішніх точках Х. Нехай — точка, в якій . Тоді в точці досягається локальний мінімум, що збігається з глобальним.

Доведення. З рівності (8.12) для знаходимо:

;

;

.

Через те що існують частинні похідні першого порядку, функцію можна розкласти в ряд Тейлора:

,

де — градієнт функції f, обчислений у точці , . Тоді:

.

Переходимо до границі при , отримаємо:

. (8.30)

Ця умова виконується для будь-яких внутрішніх точок Х₁ та Х₂ і є необхідною і достатньою умовою опуклості f(X).

Якщо функція f(X) неперервна разом з частинними похідними першого порядку і угнута на множині Х, то аналогічно поперед­ньому результату маємо:

.

Припустимо, що Х⁰ — довільна точка множини Х, тоді, взявши , , а також за умовою теореми , в нерівності (8.30) маємо:

.

Отже, опукла функція f(X) досягає свого глобального мінімуму на множині Х у кожній точці, де . Теорему доведено.

Як наслідок теореми можна показати, що коли Х замкнена, обмежена знизу, опукла множина, то глобального максимуму опукла функція f(X) досягає на ній у одній чи кількох точках (при цьому допускається, що в точці Х значення функції скінченне). Застосовуючи за розв’язування таких задач процедуру перебору крайніх точок, можна отримати точку локального максимуму, однак не можна встановити, чи є вона точкою глобального максимуму.

Для угнутих функцій отримані результати формулюють так. Нехай f(X) — угнута функція, що задана на замкненій опуклій множині . Тоді будь-який локальний максимум f(X) на множині Х є глобальним. Якщо глобальний максимум досягається в двох різних точках множини, то він досягається і на нескінченній множині точок, що лежать на відрізку, який сполучає ці точки. Для строго угнутої функції існує єдина точка, в якій вона досягає глобального максимуму.

Градієнт угнутої функції f(X) у точках максимуму дорівнює нулю, якщо f(X) — диференційовна функція. Глобальний мінімум угнутої функції, якщо він скінченний на замкненій обмеженій зверху множині, має досягатися в одній чи кількох її крайніх точках за умови скінченності функції f(X) у кожній точці цієї множини.