Основы информацинных технологий

5.6 Списки и матрицы

5.6.1 Понятие списка. Способы задания списков

Список в Mathematica представляет собой совокупность произвольных данных. Матрица - частный случай списка.

Например, а={5, 3.5, 7, 8, 4} - список из пяти элементов. Из этого примера видно, что элементы списка указываются в фигурных скобках и перечисляются через запятую.

Матрицы в Mathematica задаются как списки, элементами которых также являются списки - строки матрицы. Например, матрица

вводится в Mathematica следующим образом: b={{5,2,7}, {4,6,2}, {1,9,4}, {3,7,2}}. Здесь матрица b - список из четырех элементов, каждый из которых в свою очередь является списком из трех элементов.

Ссылка на конкретный элемент списка указывается в двойных квадратных скобках. Если список представляет собой двумерную матрицу, то первым ука­ зывается номер строки, затем - номер столбца.

Пусть, например, в Mathematica введены матрицы а и b, показанные выше. Если затем ввести а[[2]], то выводится 3.5. Если ввести b[[2]], то выводится {4,6,2}, т.е. второй элемент списка b. Если ввести b[[3,2]], то выводится 9.

Кроме непосредственного перечисления элементов, списки в Mathematica могут задаваться с помощью специальных функций.

Пример 5.10 - Создать список чисел от 1 до 10 с шагом 0.1, а также список значений функции t2+sin t для значений переменной t от 1 до 10 с шагом 0,1.

1 Для получения первого из указанных списков ввести: x=Range[l,10,0.1];

Точка с запятой в конце этой команды очень желательна, чтобы создавае­ мый список из 91 элемента не выводился на экран.

2 Для получения второго списка ввести:

y=Table[t^2+Sin[t],{t,l,10,0.1}]//N;

Список у можно получить и по-другому, используя уже созданный список х, например: y=x^2+Sin[x]//N.

Список не всегда является матрицей. Например, х={5,{2,7,5}} - список из двух элементов, первый из которых - число 5, а второй - список {2,7,5}.

140

5.6.2 Операции с элементами, строками и столбцами матриц

Операции с отдельными элементами матриц, а также их строками и столб­ цами (просмотр, добавление и т.д.) рассмотрим на следующем примере.

- Выполнить следующие операции с элементами, строками и

следующую матрицу, как показано выше:

2Присвоить переменной elem один из элементов матрицы а, например: elem=a[[l,3]].

3Просмотреть вторую строку матрицы: а[[2]].

4Просмотреть второй столбец матрицы a: Transpose[a][[2]]. Здесь Trans­ pose [а] - операция транспонирования матрицы.

5Вставить в матрицу а строку (5,7,5) в качестве второй строки: a=Insert[a,{5,7,5},2].

6Вставить в матрицу а два столбца (1,1,1,1) на второе и четвертое место. Для этого выполнить следующие действия:

-транспонировать матрицу: a=Transpose[a];

-чтобы вставить в транспонированную матрицу две строки (1,1,1,1), вве­ сти: a=Insert[a,{l,l,l,l},{{2},{3}}]. Здесь {{2},{3}} - список номеров строк, куда вставляются новые строки. Требуется указывать именно но­ мера 2 и 3 (а не 2 и 4), так как номер вставляемой строки определяется по исходной матрице;

-снова транспонировать матрицу: a=Transpose[a].

7Просмотреть матрицу а в матричной форме: MatrixForm[a].

8Просмотреть матрицу а в табличной форме: TableForm[a].

5.6.3Вычисления с матрицами

ВMatlab имеются возможности для самых разнообразных операций с мат­ рицами: от поэлементного сложения до наиболее сложных операций матричной алгебры. Рассмотрим эти операции на следующем примере.

П р и м е р 5.12 - Выполнить следующие вычисления с матрицами. 1 Задать следующие матрицы, как показано выше:

2 Увеличить все элементы матрицы b на единицу: b=b+l.

141

7Транспонировать матрицу b, т.е. поменять местами строки и столбцы: b=Transpose[b].

8Вычислить определитель матрицы х: d=Det[x].

9 Вычислить матрицу, обратную к х: xobr=Inverse[x].

10 Чтобы убедиться, что обратная матрица найдена правильно, перемно­ жить матрицы х и xobr по правилам матричной алгебры, как показано выше. Результатом должна быть единичная матрица, т.е. матрица, в которой диаго­ наль состоит из единиц, остальные элементы - нули.

11 Вычислить собственные значения матрицы х: Eigenvalues(x).

12 Вычислить собственные векторы матрицы х: Eigenvectors(x).

Пример 5.13 - Решить систему линейных уравнений: 6х1 + 14х2 + 7х3 = 120 Зх1 +5х2 + 9х3 = 175 8х1 +3х2 + 5х3 = 100.

Для решения системы уравнений вычислить столбец значений переменных х следующим образом: x=a-1b, где а - матрица коэффициентов уравнений (a-1 - обратная матрица), b - столбец правых частей уравнений. Для проверки полу­ ченного решения перемножить матрицы а и х; должны быть получены правые части уравнений.

Решить систему линейных уравнений также с помощью функции Mathema­ tica LinearSolve[a,b].

5.7 Пакеты расширения

Пакеты расширения (Add-on) представляют собой наборы функций Ma­ thematica, загружаемые в память не автоматически (при загрузке самой системы Mathematica), а по указанию пользователя. В пакеты расширения включаются функции, относящиеся к определенному разделу математики (например, ли­ нейная алгебра, теория чисел и т.д.) или к определенному классу задач (напри­ мер, построение графиков). Пакеты расширения разбиваются на подпакеты. Полная информация о пакетах и подпакетах расширения имеется в справочной системе Mathematica. Пакеты расширения загружаются следующей командой:

«имя_пакета'имя_подпакета'

Следует обратить внимание, что кавычки, используемые в этой команде, обычно указываются на клавише вместе с символом "~" (а также русской бук­ вой "Ё").

142

Примечание - При наборе длинной команды, не помещающейся в одну строку, переход в новую строку будет выполняться автоматически.

Здесь опция AxesLabel задает подписи осей. Опция PlotStyle с директивой Dashing задает вид графиков: первый из выводимых графиков выводится сплошной линией, второй - штриховой (здесь 0,05 - длина штриха, 0,025 - длина интервала между штрихами). Подробная информация обо всех опциях и директивах функции Plot имеется в справочной системе Mathematica.

Пример 5.17 - Построить графики функций y=0,25x+sin х - 1 и y=0,25x+cos х - 1 для значений х от 0 до 10 с выводом легенды.

1 Загрузить подпакет Legend пакета расширения Graphics: <<Graphics'Legend'

2 Для построения графиков ввести:

Plot[{0.25x + Sin[x] - 1 , 0.25x+Cos[x] - 1 } , {х, 0, 10},

AxesLabel -> {"X", "Y"} ,

PlotStyle-> {Dashing[{0.15, 0.025}],

Dashing[{0.05, 0.025}]},

PlotLegend -> {"0.25 x+Sin[x]-1", "0.25 x+Cos[x] -1"} ,

LegendPosition -> {-1, - 1 . 2}, IegendSize -> {2, 0.5}]

Примечание - Опция LegendPosition задает расположение нижнего левого угла леген­ ды относительно центра графика. Первой указывается позиция по горизонтали, второй - по вертикали. Сторона графика, имеющая максимальную длину, считается расположенной в диапазоне от -1 до 1. В такой же системе координат задается размер легенды (LegendSize).

Пример 5.18 - Построить график функции, заданной параметрически:

x=6cos3t y=6sin3t

для значений t от 0 до 2π. Для этого ввести: ParametricPlot[{6*Cos[t]^3,6*Sin[t]^3},{t,0,2*Pi}]

Пример 5.19 - Построить график функции, заданной в полярных коорди­ натах: r=6 cos 3t, для значений f от 0 до 2π.

1 Загрузить подпакет Graphics пакета расширения Graphics: <<Graphics'Graphics'

2 Чтобы построить график, ввести: PolarPlot[6 Cos[3 t],{t, 0,2Pi}]

Пример 5.20 - Построить трехмерный график: график функции z=x2+2y2 для значений х и у от -5 до 5. Для этого ввести:

Plot3D[x^2+2 у^2,{х,-5,5},{y,-5,5}]

Построить график той же функции, срезанный на уровне z=40:

144

Plot3D[x^2+2y^2,{x,-5,5},{y,-5,5},PlotRange->{0,40}] Построить тот же график без линий каркаса: Plot3D[x^2+2y^2,{x,-5,5},{y,-5,5},PlotRange->{0,40},Mesh->False] Построить контурный график той же функции:

ContourPlot[x^2+2y^2,{x,-5,5},{y,-5,5},Axes->True,AxesLabel->{"X","Y"}]

Пример 5.21 - Построить график функции, заданной параметрически:

x=(cos t)(З+cos u) y=(sin t)(3+cos u) z=sin 2u

для значений t от 0 до 1,75π, и от 0 до 2π. Для этого ввести:

ParametricPlot3D[{Cos[t] (3+Cos[u]), S i n ( t ] ( 3 + Cos[u]), Sin[2u]} , {t, 0, 1.75Pi}, {u, 0, 2 P i } , Axes -> True, AxesLabel -> {"X", "Y", "Z"}]

Пример 5.22 - Пусть в результате некоторого эксперимента получены следующие значения двух величин:

Эти данные сохранены в текстовом файле. Требуется построить по этим данным точечный график, отражающий связь величин X и Y.

1 Используя Блокнот, создать текстовый файл, содержащий два столбца чисел:

1.215.7

3.112.2

6.710.4

7.86.2

9.86.1

12.55.9

14.35.8

2Сохранить файл исходных данных и закрыть его.

3Вернуться в систему Mathematica. Ввести данные из файла в какую-либо переменную (в этом примере - переменная dan). Для этого ввести:

d a n = R e a d L i s t [ " и м я _ ф а й л а " , Number, RecordLists->True]

Имя файла указывается, как показано в примере 5.4. Директива Number необходима для того, чтобы данные из файла вводились как отдельные числа; если не указать Number, то числа, указанные в одной строке, будут перемно­ жаться. Директива RecordLists->True необходима для того, чтобы данные вво­ дились в виде двумерной матрицы (если не указать эту директиву, то все числа из файла будут введены в виде одномерной матрицы). В результате переменная dan будет представлять собой матрицу из двух столбцов.

4 Чтобы построить график, ввести: ListPlot[dan].

145

5 Чтобы график имел лучший внешний вид (например, чтобы увеличить точки графика), ввести:

ListPlot[dan, PlotRange->{-l,15}, PlotStyle->PointSize[0.02]]

Пример 5.23 - Построить график следующей функции, заданной неявно: (x2+y2)2-x2+y2=0, для значений х от -2 до 2. Необходимый для этого пакет рас­ ширения, подпакет и функцию для построения графика найти самостоятельно, используя справочную систему Mathematica.

Примечание - "Неявная функция" на английском языке - implicit function.

Пример 5.24 - Загрузить файл из примера 5.22. Используя операции со списками (см. подраздел 5.6), получить два списка: списки значений X и Y.

5.9 Решение алгебраических уравнений

Для аналитического решения алгебраических уравнений в Mathematica применяются следующие функции:

Solve[ypaвнение, переменная]

или

NSolve[ypaвнение, переменная]

где уравнение - решаемое уравнение; переменная - переменная, относительно которой решается уравнение.

Функция Solve определяет решение уравнения в символьной форме или в виде рациональных дробей, функция NSolve - в числовой форме (в виде деся­ тичных дробей).

Примечание - Более подробно о том, как определяется форма получаемого результата, см. в подразделах 5.1 и 5.2.

Если уравнение имеет несколько решений, то функции Solve и NSolve оп­ ределяют все решения. Если получить список всех решений невозможно (на­ пример, их количество бесконечно из-за периодичности функций, входящих в уравнение), то выводится предупреждающее сообщение.

Если аналитическое решение уравнения невозможно, то функция Solve или NSolve выводит на экран уравнение без решения. В этом случае необходимо решать уравнение численными методами. Для этого применяется следующая функция:

FindRoot[ypaвнение, {переменная, начальная_точка}]

где уравнение - решаемое уравнение; переменная - переменная, относительно которой решается уравнение;

начальная_точка - значение переменной, в окрестности которого ищется решение.

146

Если уравнение имеет несколько решений, то функция FindRoot находит лишь одно из них (ближайшее к заданной начальной точке). Другие решения требуется определять, изменяя начальную точку.

Рассмотрим применение этих функций на примерах. Пример 5.25 - Решить уравнение sin х + cos х = 0. 1 Для решения уравнения ввести: Solve[Sin[x]+Cos[x]==0,x]

На экран выводится следующий результат:

Выводится также предупреждающее сообщение о том, что все решения не могут быть найдены.

Как видно, результат получен в виде списка подстановок.

2 Для проверки результата подставить его в исходное уравнение: Sin[x]+Cos[x]==0/.%

Должен быть получен ответ: {true,true}. Это означает, что при подстановке обоих найденных решений исходное уравнение является верным равенством.

Примечание - В данной операции использована подстановка (/.) и ссылка на результат последней операции (%). Подробнее об этом см. в подразделах 5.2 и 5.4.

3 Выполнить действия, рассмотренные на шагах 1 и 2, другим способом: присвоив строку решаемого уравнения некоторой переменной (см. подраз­ дел 5.2). Для этого ввести (после каждой команды нажимать Shift-Enter):

ur=Sin[x]+Cos[x]==0

Solve[ur,x]

ur/.%

Здесь строка уравнения (Sin[x]+Cos[x]==0) присваивается переменной ur, что позволяет сократить последующие выражения. Результаты должны быть такими же, как на шагах 1 и 2.

4 Получить решение уравнения sin х + cos х = 0 в виде десятичных дро­ бей. Для этого ввести:

NSolve[ur,x]

Результатом является следующий список подстановок:

{{х -> - 0 . 7 8 5 3 9 8 } , {х -> 2 . 3 5 6 1 9 } }

5 Проверить полученный результат. Для этого подставить найденные ре­ шения в левую часть уравнения:

Sin[x]+Cos[x]/.%

147

Примечание - Попытка выполнить подстановку ur/.% (как это было сделано для реше­ ния, найденного в виде рациональных дробей) могла бы привести к неожиданному результа­ ту: {false, false}, хотя уравнение решено правильно. Причина в том, что решение, полученное в виде десятичных дробей - приближенное.

6 Получить решение уравнения sin х + cos х = 0 в виде списка чисел (а не подстановок, как во всех предыдущих случаях). Для этого ввести:

rez=x/.NSoIve[ur,x]

Здесь результаты, возвращенные функцией NSolve (т.е. подстановки, пока­ занные на шаге 4), подставляются в переменную х, которая присваивается пе­ ременной rez. Переменная rez будет представлять собой список {-0.785398, 2.35619}.

Примечания

1 Если ввести команду x/.NSolve[ur,x], то результаты функции NSolve будут подстав­ лены в переменную х и выведены на экран в виде чисел, но не сохранятся в какой-либо пе­ ременной.

2 В команде rez=x/.NSolve[ur,x] необходимо использовать именно переменную х (а не переменную с каким-либо другим именем), так как в уравнении, задаваемом переменной иг, используется переменная х (см. шаг 3).

7 Для проверки полученных результатов (т.е. решений в виде чисел) вы­ полнить следующую подстановку:

Sin[x]+Cos[x]/.x->rez

Должны быть получены значения, очень близкие к нулю.

Пример 5.26 - Найти все решения уравнения 0,25х + sin х - 1 = 0 для зна­ чений х от 0 до 10.

1 Попытаться найти решения уравнения с помощью функции Solve. На экран выводится следующее:

Solve[-1+0.25 x+Sin[x]==0,x]

Это означает, что уравнение не может быть решено аналитически. Необхо­ димо искать каждое из решений уравнения численными методами.

2 Чтобы примерно определить, где находятся решения уравнения, по­ строить график функции y=0,25x+sin х - 1 для значений х от 0 до 10, используя функцию Plot. График будет иметь такой вид, как показано на рисунке 5.2.

Рисунок S.2 - График функции у=0,25х + sin х -1

148