Основы информацинных технологий

Если уравнение имеет несколько решений, то функция fzero находит лишь одно из них. Другие решения требуется определять, изменяя значения начальной точки или границы отрезка (а или b).

Если в уравнении f(х)=0 функция f(x) представляет собой полином, то можно найти все решения уравнения сразу, используя функцию roots(коэффициенты), где коэффициенты - массив коэффициентов полинома.

Пример 4.23 - Найти все решения уравнения 0,25x+sin(x)-l=0 для значе­ ний х от 0 до 10.

Предварительно следует построить график функции y=0,25x+sin(x)-l, что­ бы примерно определить, где находятся решения уравнения. График будет иметь такой вид, как показано на рисунке 4.2.

Создадим М-файл (функцию), реализующий левую часть уравнения:

function y=fun(x) y=0.25*x+sin(x)-l;

Сохраним его под именем fun.m.

Для определения первого решения уравнения можно ввести: x=fzero('fun', 1)

На экран выводится результат: х=0.8905.

Конечно, вместо 1 можно указать и другое значение. Можно также вместо имени М-файла указать левую часть уравнения:

x=fzero('0.25*x+sin(x)-l',1)

Аналогично можно найти остальные решения, например: x=fzero('fun', 3)

На экран выводится: х=2.8500. x=fzero('fun', 5)

На экран выводится: х=5.8128.

Можно также использовать функцию fzero с несколькими выходными па­ раметрами, например:

[x,y,k]=fzero('fun', 1)

На экран выводятся следующие результаты: х=0,8905, у=0, k=1. Здесь у - значение функции y=0,25x+sin(x)-l при найденном х (то, что это значение равно нулю, подтверждает, что найдено верное решение); г - код результата, возвра­ щаемый функцией fzero; r=1 означает, что решение найдено.

Найдем решения уравнения 0,25x+sin(x)-l=0, используя функцию fzero в форме fzero('уравнение', [а b]). Например, чтобы найти первое решение, мож­ но ввести:

x=fzero('fun', [0 1])

110

Пример 4.24 - Найти все решения уравнения 5x3+8x2+1 =0. Для этого требуется ввести: roots([5,8,0,l]).

4.8 Решение систем алгебраических уравнений

Основная функция для решения систем алгебраических уравнений - функ­ ция fsolve('система_уравнений', начальная_точка), где 'систе­ ма уравнений' - имя М-файла (функции), реализующего левые части уравне­ ний системы; начальная_точка - массив, задающий начальную точку для по­ иска решения.

Для использования функции fsolve решаемую систему уравнений необхо­ димо преобразовать к виду, где правые части уравнений представляют собой нули.

Пример 4.25 - Решить систему уравнений:

x12 — x1х2 = е-X1 x22 — x1х2 = е-X2.

Для этого требуется сначала преобразовать систему: x12 — x1х2 - е-X1 = 0

x22 — x1х2 - е-X2 = 0.

Создадим функцию (М-файл), реализующую левые части уравнений ре­ шаемой системы:

function z=sist_ur(x)

z=[x(l)^2-x(1)*x(2)- ехр(-х(1)); х(2)^2+х(1)*х(2)- exp(-x(2))];

Для решения системы уравнений следует ввести:

[x,y,k]=fsolve('sist_ur',[0 0])

Здесь [0 0] - начальная точка для поиска решения системы уравнений. На экран выводятся следующие результаты:

х =

0.9066 0.4611

У = 1.0е-011 * 0.2307 -0.0560

к =

1

Это означает, что решение системы уравнений следующее: x1=0,9066, x2=0,4611. Переменная у представляет собой массив правых частей уравнений при найденных значениях переменных х. Видно, что в данном случае правые

1ll

части уравнений практически равны нулю, что подтверждает правильность найденного решения. Переменная r - код результата, возвращаемый функцией fsolve; r=1 означает, что решение системы уравнений найдено.

Примечание - Функцию fsolve можно использовать и для решения одиночных уравне­ ний (например, для уравнения из примера 4.23).

4.9 Поиск экстремумов функций одной переменной

Для поиска минимумов функций одной переменной y=f(x) используются следующие функции Matlab:

fminsearch('функция',x0)

или

fminsearch(функция', a, Ь),

где 'функция' - функция f(x), для которой требуется найти минимум, или имя М-файла, реализующего эту функцию;

x0 - значение переменной, в окрестности которого ищется минимум; a, b - границы отрезка, на котором ищется минимум.

Если функция y=f(x) имеет несколько минимумов, то функции fminsearch и fminbnd находят лишь один из них. Другие минимумы требуется определять, изменяя значения x0, а или b.

Если требуется найти максимум функции y=f(x), то необходимо использо­ вать функции Matlab fminsearch или fminbnd, указав в них функцию f(x), ум­ ноженную на -1.

Примечание - Функция fminsearch может применяться также для поиска экстремумов функций нескольких переменных (см. подраздел 4.10).

Пример 4.26 - Найти все точки экстремума функции y=0,25x+sin(x)-l для значений х от 0 до 10, используя функцию fminbnd.

Предварительно следует построить график функции y=0,25x+sin(x)-l, что­ бы примерно определить, где находятся точки экстремума. График этой функ­ ции показан на рисунке 4.2.

Из графика видно, что на заданном отрезке функция имеет один минимум и два максимума. Для поиска точки минимума следует ввести:

[x,y,k]=fminbnd('fun',4,5)

М-файл fun.m подготовлен при решении примера 4.23. Минимум ищется на отрезке от 4 до 5 (конечно, можно задать и другие границы). На экран выво­ дятся следующие результаты: х=4,4597, у=-0,8533, к=1. Это означает, что ми­ нимум достигается при х=4,4597, при этом у=-0,8533. Код результата к=1 озна­ чает, что минимум найден.

Для поиска максимумов следует создать еще один М-файл, где исследуе­ мая функция будет указана с обратным знаком, например:

112

4.11 Решение задач линейного программирования

Понятие задачи линейного и нелинейного программирования рассмотрено в подразделе 3.4. В Matlab процедура решения задач линейного и нелинейного программирования существенно различается. Решение задач линейного про­ граммирования рассматривается в данном подразделе, а задач нелинейного программирования - в подразделе 4.12.

Пример 4.30 - Решить следующую задачу линейного программирования:

Е = 5х1 + 4х2 + 12х3 —> max

2х1 + 6x2+x3 >= 100 3х1 +2х2 + 4х3 <= 1000 3х1 + 2х2 <= 600 х1 <= 20 х2 >= 10

х1 = 2х2 х1 + х2 + х3 = 1

хi>=0, i=1,...,3.

Здесь требуется найти значения переменных х1 x2, х3, при которых целевая функция Е будет иметь максимальное значение при соблюдении всех указан­ ных ограничений.

Чтобы решить такую задачу в Matlab, требуется привести ее к следующей стандартной форме:

-целевая функция должна подлежать минимизации;

-все ограничения-неравенства должны иметь вид <=;

-все ограничения-равенства должны иметь в правой части число (а не переменную и не выражение).

Примечание - Ограничения на минимальные и максимальные значения отдельных пе­ ременных могут иметь вид как <=, так и >=

Приведем к стандартной форме решаемую задачу:

-Е = 5х1 + 4х2 + 12х3 —> min

-2х1 - 6x2 - х3 <= -100 3х1+ 2х2+ 4х3 <= 1000 3х1 + 2х2 <= 600 х1 <= 20 -х2 <= -10 х1 - 2х2 = 0

х1 + х2 + х3 = 1

хi >= 0, i=1,...,3.

114

Для решения задач линейного программирования в Matlab используется функция

linprog(f, a, b, ar, br xmin, xmax)

где f - массив-столбец коэффициентов целевой функции, подлежащей миними­ зации;

а - матрица коэффициентов ограничений-неравенств, имеющих вид "мень­ ше или равно" (коэффициенты каждого ограничения указываются в от­ дельной строке матрицы);

b - массив-столбец правых частей ограничений-неравенств;

аr - матрица коэффициентов ограничений-равенств (коэффициенты каждого ограничения указываются в отдельной строке матрицы);

br - массив-столбец правых частей ограничений-равенств;

Xmin - массив-столбец ограничений на минимальные значения переменных; Хmах - массив-столбец ограничений на максимальные значения переменных.

Так как для функции linprog требуется задавать много исходных данных, удобно не вводить их в командном окне, а подготовить эти данные в М-файле (сценарии) и вызывать функцию linprog из этого же М-файла. Следует вызвать редактор М-файлов (командой File - New - M-file) и ввести следующий текст:

f=[-5;-4;-12];

а = [-2,-6,-1;3,2,4;3,2,0;1,0,0;0,-1,0]; b = [-100; 1000; 600; 20; -10];

аr = [1, -2,0; 1,1,1]; br = [0; 1];

xmin = [0; 0; 0];

[х, е, k] = linprog(f, a, b, ar, br, xmin)

В данном случае не используется массив ограничений на максимальные значения переменных. В последней строке (т.е. в вызове функции linprog) не указана точка с запятой, чтобы результаты выводились на экран.

Здесь использованы три выходных параметра функции linprog: х - массив значений переменных x, представляющих собой решение задачи; е - значение целевой функции (в данном примере оно будет получено с обратным знаком, так как целевая функция умножалась на -1 для приведения к стандартной фор­ ме); к - код результата, возвращаемый функцией linprog (k=l, если решение успешно найдено).

Необходимо сохранить этот файл (например, под именем lp.m), закрыть редактор М-файлов и вернуться в командное окно. Для решения задачи следует в командном окне ввести 1р.

Результат должен быть следующим: x1=20, x2=10, x3=70, E=980. Рассмотренный способ решения задачи - не единственно возможный.

Можно, например, указать ограничение х2 >= 10 как одно из ограничений на ми­ нимальные значения переменных, аx1 <= 20 - как ограничение на максимальное

115

значение переменной. Тогда М-файл для вызова функции linprog будет иметь следующий вид:

f=[-5; -4; -12];

а = [-2,-6, -1;3, 2, 4; 3,2,0]; b = [-100; 1000; 600];

аr = [1,-2,0; 1,1,1]; br = [0; 1];

xmin = [0; 10; 0]; xmax = [20; inf; inf];

[x, e, k] = linprog(f, a, b, ar, br, xmin, xmax)

Здесь inf - стандартное обозначение бесконечности. Оно используется по­ тому, что для переменных х2 и х3 ограничения на максимальные значения не за­ даны.

Примечание - Если в задаче отсутствуют ограничения-равенства, то функция linprog вызывается следующим образом:

linprog(f, а, b, [], [],xmin, xmax)

Другими словами, если требуется пропустить какие-либо входные параметры функции, то вместо них указываются пустые матрицы ([]). Это относится не только к функции linprog, но и ко всем функциям Matlab.

Пример 4.31 - Решить следующую задачу линейного программирования: Е = 0,5x1 + 1,2x2 —> min

x1>=200

х2>= 100 25x1+40x1 >= 20000 2x1+7x2 <= 2500

x1 >= 0, х2 >= 0.

Пример 4.32 - Решить следующую задачу линейного программирования:

Е = 20x1 + 25х2 + 17х3 -> min.

4x1 + 5х2 + 2х3 >= 400 x1 + х2 + 4х3 >= 250 x1 + х2+ х3 = 150 2x1 + х2+ х3 <= 300

xi>=0,i=1,...,3.

116

4.12 Решение задач нелинейного программирования

Решение таких задач рассмотрим на следующем примере.

Пример 4.33 - Решить следующую задачу нелинейного программирования:

хi>=0, i=1,...,3.

Чтобы решить задачу нелинейного программирования в Matlab, требуется привести ее к следующей стандартной форме:

-целевая функция должна подлежать минимизации;

-все линейные ограничения (как равенства, так и неравенства) приводят­ ся к стандартной форме, как и для задач линейного программирования (см. подраздел 4.11);

-все нелинейные ограничения должны иметь в правой части ноль, при­ чем все нелинейные ограничения-неравенства должны быть приведены к виду <0.

Приведем к стандартной форме решаемую задачу:

-х1 - х2 - х3 <= -50 3х1 + 2х2 <= 600 -х2<=-10 х1 - 2х2 = 0

х1х2 + х2х3-2000 <= 0

-x1-x2+ 100 <= 0

х 2 2 + х 3 2 - 1 0 0 0 = 0

хi>=0, i=1,...,3.

117