Лекция 6

Кривые второго порядка, заданные каноническим уравнением

Линия L на плоскости Oxy называется линией (кривой) 2-го порядка,

если она определяется уравнением 2-ой степени относительно x и y , т.е.

уравнением вида:

где хотя бы один из коэффициентовA, B или C не равен нулю.

Линиями второго порядка являются эллипс, гипербола и парабола. В данной лекции рассматриваются уравнения этих линий в наиболее простом (каноническом) виде, который достигается определенным выбором системы координат.

Эллипс Эллипсом называется линия, представляющая геометрическое место точек,

сумма расстояний которых от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Обозначим фокусы эллипса через F1 и F2 , а сумму расстояний точек эллипса от фокусов через 2a . Тогда для любой точки M (x, y) , лежащей на эллипсе, по определению выполняется равенство

Поскольку одна сторона треугольника всегда короче суммы двух других его

54

координат поместим в середину отрезка F1F2 . Этим определится и положение

Отсюда и из (6.2) видно, что точка M (x, y) лежит или не лежит на эллипсе, смотря по тому, верно или неверно равенство

Таким образом, равенство (6.5) и есть уравнение рассматриваемого эллипса. Упростим громоздкое уравнение (6.5), возведя обе части в квадрат

( (x −c)2 + y2 )2 = (2a − (x + c)2 + y2 )2

x2 − 2xc + c2 + y2 = 4a2 − 4a (x + c)2 + y2 + x2 + 2xc + c2 + y2

Откуда после упрощения получаем:

4a (x + c)2 + y2 = 4a2 + 4xc

b2 x2 + a2 y2 = a2b2 , деля обе части последнего равенства на a2b2 , окончательно получаем:

Это и есть простейшее или каноническое уравнение эллипса.

Исследование формы эллипса

Изучим форму эллипса, опираясь только на его каноническое уравнение

(6.8).

Эллипс симметричен относительно оси Ox и оси Oy . Точка O(0,0) – его

центр симметрии. Доказательство этого факта непосредственно вытекает из так н6азываемого принципа симметрии: если в уравнение какой-либо линии координата x ( y ) входит только в четных степенях, то эта линия симметрична

относительно оси Oy ( Ox ).

В силу сказанного, мы будем знать форму эллипса, если установим вид той его части, которая лежит в 1-ой координатной четверти. Для этого решим уравнение (6.8) относительно y :

55

Отсюда вытекают 4 утверждения:

1.если x = 0 , то y = b

2.если x увеличивается, то y уменьшается

3.если x = a , то y = 0

4.если x > a , то y оказывается мнимым, т.е. на эллипсе (6.8) вовсе нет

точек, у которых x > a .

Коротко говоря, при возрастании x от нуля до a ордината y убывает от b до нуля. Точки A1(a,0), B1 (0,b), A2 (−a,0), B2 (0, −b) , в которых эллипс пересекает

оси симметрии, называются его вершинами.

Для эллипса используются следующие обозначения:

A1 A2 –большая ось A1 A2 = 2a ; OA1 – большая полуось OA1 = a ; B1B2 –малая ось B1B2 = 2b ; OB1 – малая полуось OB1 = b .

Для построения эллипса удобно использовать его основной прямоугольник–прямоугольник со сторонами 2a и 2b , стороны которого проходят через вершины эллипса симметрично относительно координатных осей. Эллипс целиком находится внутри основного прямоугольника, касаясь его сторон в своих вершинах.

x2 + y2 =1 т.е. превращается в известное уравнение окружности с центром в a2 a2

начале координат: x2 + y2 = a2 .

Эксцентриситетом эллипса называется отношение междуфокусного расстояния к большой оси, т.е. число

56

Т.к. c < a , то для любого эллипса будет 0 ≤ε <1. Случай ε = 0 соответствует окружности. Для того чтобы понять как значение ε влияет на форму эллипса,

разделим обе части равенства (6.7) на a2 :

Из (6.10) видно, что при очень малом ε числа a и b почти равны, т.е. эллипс очень напоминает окружность. Если же ε близко к 1, то b весьма мало по сравнению с a и, стало быть, эллипс весьма вытянут вдоль оси Ox .

Как известно, планеты и кометы движутся по эллипсам. В одном из фокусов каждого такого эллипса находится Солнце, в другом фокусе ничего нет. Оказывается, что эксцентриситеты планетных орбит весьма малы, а кометных – велики (близки к 1). Т.о. планеты движутся почти по окружностям, а кометы то приближаются к Солнцу, то весьма удаляются от него. Эксцентриситеты орбит Меркурия, Венеры, Земли и Марса равны

Теорема 1. Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния данной точки до фокуса к расстоянию от данной точки до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету ε .

Доказательство (достаточность). Пусть для произвольной точки плоскости M (x, y) выполнено соотношение:

(x −c)2 + y2 =ε . Покажем, что в этом случае координаты точки

εa − x

удовлетворяют каноническому уравнению эллипса (6.8).

57

(x −c)2 + y2 =ε(εa − x) . С учетом (6.9) возведем обе части последнего

равенства в квадрат:

(x −c)2 + y2 = (a − ac x)2

a2 (x2 − 2xc + c2 + y2 )= (a2 − cx)2

a2 x2 − 2xca2 + c2a2 + y2a2 = a4 − 2a2cx + c2 x2 (a2 −c2 )x2 + y2a2 = a2 (a2 −c2 )

Вводя обозначение a2 −c2 = b2 , получаем b2 x2 + y2a2 = a2b2 .

Деля обе части равенства на a2b2 , получаем каноническое уравнение эллипса (6.8).

Для доказательства необходимого условия теоремы требуется все рассуждения провести «снизу вверх».

Теорема доказана.

Эллипс с центром симметрии в точке O(x0 , y0 ) описывается уравнением

В частности, если a = b , получаем уравнение окружности с центром в точке O(x0 , y0 ) и радиусом a = b :

Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и

нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением: x2 + y2 =1.

25 16

Решение.

1)Координаты нижней вершины: x = 0; y2 = 16; y = -4.

2)Координаты левого фокуса: c2 = a2 – b2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F2(-3; 0).

58