Выпуклость и вогнутость кривой.

Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.

у

x

На рисунке дана иллюстрация приведенного выше определения.

Теорема 5. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная дважды дифференцируемой в этом интервале функции f(x) отрицательна (положительна), то кривая y=f(x) обращена выпуклостью вверх (выпуклостью вниз).

Пусть х > x0 тогда x0 < c1 < c < x. Т.к. x – x0 > 0 и c – x0 > 0, и кроме того по условию f ′′(c1 ) < 0 , следовательно, y − yкас. < 0 .

Пусть x < x0 тогда x < c < c1 < x0 и x – x0 < 0, c – x0 < 0, т.к. по условию f ′′(c1 ) < 0, то y − yкас. < 0 .

Аналогично доказывается, что если f′′(x)>0 на интервале (a, b), то кривая y=f(x) вогнута на интервале (a, b).

Теорема доказана.

Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба. В точке перегиба касательная пересекает кривую.

146

Теорема 6. (Необходимое условие точки перегиба) Если график функции y = f (x) имеет перегиб в точке M0 (x0 , f (x0 )) , то либо f ′′(x0 ) = 0 либо f ′′(x0 ) не существует.

Теорема 7. (Достаточное условие перегиба) Пусть кривая определяется уравнением y=f(x). Если вторая производная f′′(x0) = 0 или f′′(x0) не существует и при переходе через точку х=x0 f′′(x) меняет знак, то точка кривой M0 (x0 , f (x0 )) является точкой перегиба.

Доказательство.

1) Пусть f′′(x) < 0 при х < a и f′′(x) > 0 при x > a. Тогда при x < a кривая выпукла, а при x > a кривая вогнута, т.е. точка х = а – точка перегиба.

1)Пусть f′′(x) > 0 при x < b и f′′(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x > b – выпуклостью вверх. Тогда x = b – точка перегиба. Теорема доказана.

Из приведенных теорем 5-7 вытекает правило отыскания точек перегиба и исследование графиков функции на выпуклость и вогнутость:

1.Находим область определения функции y = f (x) .

2.находим вторую производную функции y = f (x) .

3.приравниваем вторую производную к нулю f ′′(x) = 0 и находим все

действительные корни полученного уравнения, а также точки из области определения, в которых вторая производная не существует. Т.о. находим все критические точки второго рода функции.

4.Найденные точки строим на числовой прямой в области определения функции. Они разобьют область определения на ряд интервалов, в каждом из которых вторая производная сохраняет знак.

5.определяем знак второй производной в каждом из полученных интервалов (для этого достаточно определить ее знак в какой-нибудь

одной точке каждого из этих интервалов). Если на рассматриваемом интервале f ′′(x) > 0 , то это – интервал вогнутости графика функции, если

f′′(x) < 0 , то это–интервал выпуклости графика функции.

6.среди точек, в которых функция y = f (x) непрерывна, а вторая

производная равна нулю или не существует, определяем те, при переходе через которые вторая производная меняет знак. Такие точки будут являться точками перегиба.

Асимптоты

При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки в бесконечность.

Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот

147

асимптотой и осью Ох обозначим ϕ. Перпендикуляр МQ к оси Ох пересекает асимптоту в точке N.

Тогда MQ=y – ордината точки кривой, NQ= yас. – ордината точки N на асимптоте.

Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.

В полученном выражении выносим за скобки х:

Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k=0.

Таким образом, прямая у =х+2 является наклонной асимптотой. Построим график функции:

149

150

Найдем наклонные асимптоты вида y = kx + b:

Таким образом, прямая у=х–4 является наклонной асимптотой.

Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо:

1)Найти область определения функции.

2)В случае если область определения функции симметрична относительно 0, проверить является ли функция четной или нечетной.

3)Найти точки разрыва функции (если они имеются) и ее односторонние пределы в этих точках. Изобразить на чертеже поведение функции вблизи каждой точки разрыва.

4)Найти асимптоты графика функции. Изобразить их на чертеже штриховыми линиями.

5)Изучить поведение функции при стремлении аргумента к концам промежутков области определения (если это неясно из предыдущих исследований).

151

6)Найти, если это возможно, точки пересечения графика функции с осями координат. Построить эти точки.

7)Найти интервалы возрастания и убывания функции, точки максимума и минимума. Вычислить значения функции в этих точках. Изобразить на чертеже поведение функции в окрестности каждой из них.

8)Найти промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции. Нанести на чертеж эти точки.

9)Используя полученные результаты исследования, построить график функции. Иногда для уточнения построения графика следует найти

две-три дополнительные точки. Применение этой схемы рассмотрим на примере.

Решение.

1.Находим область определения функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-∞; -1) (-1; 1) (1;+∞).

2.Так как область определения функции–симметричное относительно 0 множество, то проверим функцию на четность (нечетность):

Таким образом, прямые х=1, х=-1 являются вертикальными асимптотами кривой.

4.Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем

наклонные асимптоты.

6. Точки пересечения с осями координат:

152