Лекция 8

Матрицы линейных преобразований

Пусть в n-мерном линейном пространстве с базисом e1 , e2 ,…, en задано линейное преобразование А. Тогда векторы Аe1 ,Аe2 ,…,Аen - также векторы

этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса:

A e1 = a11 e1 + a21 e2 +…+ an1 en

называется матрицей линейного преобразования А.

Если в пространстве L взять вектор x = x1 e1 + x2 e2 +…+ xn en , то A х L.

……………………………..

xn′ = an1 x1 + an2 x2 +... + ann xn

Эти равенства можно назвать линейным преобразованием в базисе e1 , e2 ,…, en .

В матричном виде:

Пример 1. Найти матрицу линейного преобразования, заданного в виде: x′= x + y

y′= y + z z′= z + x

Решение.

x′= 1 x + 1 y + 0 z y′= 0 x + 1 y + 1 z z′= 1 x + 0 y + 1 z

74

На практике действия над линейными преобразованиями сводятся к действиям над их матрицами.

Если вектор х переводится в вектор у линейным преобразованием с матрицей А, а вектор у в вектор z линейным преобразованием с матрицей В, то

последовательное применение этих преобразований равносильно линейному преобразованию, переводящему вектор х в вектор z (оно называется

произведением составляющих преобразований).

С=В А (8.5)

Пример 2. Задано линейное преобразование А, переводящее вектор х в вектор у и линейное преобразование В, переводящее вектор у в вектор z . Найти матрицу линейного преобразования, переводящего вектор x в вектор z .

75

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть – характеристическим многочленом линейного преобразования А.

Следует отметить, что характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

Рассмотрим частный случай. Пусть А – некоторое линейное

преобразование А может быть задано формулами:

в некотором базисе e1 ,e2 .

Если преобразование А имеет собственный вектор с собственным значением λ, то Ах = λх .

нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен нулю. В противном случае по правилу Крамера система имеет единственное решение – нулевое, что невозможно.

∆ = a11 −λ a12 = (a11 −λ)(a22 −λ) − a12 a21 = λ2 −(a11 + a22 )λ + (a11a22 − a12 a21 ) a21 a22

Полученное уравнение является характеристическим уравнением линейного преобразования А.

Таким образом, можно найти собственный вектор х (х1, х2) линейного преобразования А с собственным значением λ, где λ - корень характеристического уравнения, а х1 и х2 – корни системы уравнений при подстановке в нее значения λ.

76

действительных корней, то линейное преобразование А не имеет собственных векторов.

Следует отметить, что если х - собственный вектор преобразования А, то и любой вектор ему коллинеарный – тоже собственный с тем же самым собственным значением λ.

Действительно, A(kx ) = kAx = kλx = λ(kx ) . Если учесть, что векторы

имеют одно начало, то эти векторы образуют так называемое собственное направление или собственную прямую.

Т.к. характеристическое уравнение может иметь два различных действительных корня λ1 и λ2, то в этом случае при подстановке их в систему уравнений получим бесконечное количество решений. (Т.к. уравнения линейно зависимы). Это множество решений определяет две собственные прямые.

Если характеристическое уравнение имеет два равных корня λ1 = λ2 = λ, то либо имеется лишь одна собственная прямая, либо, если при подстановке в

удовлетворяет любым значениям х1 и х2. Тогда все векторы будут собственными, и такое преобразование называется преобразованием подобия. Пример 3. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного

Решение. Запишем линейное преобразование в виде: x1′ = λx1 = 5x1 + 4x2 x′2 = λx2 = 2x1 + 3x2

Составим характеристическое уравнение:

Из системы получается зависимость: x1 – 2x2 = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; 0,5t) где t- параметр.

Из системы получается зависимость: x1 + x2 = 0. Собственные векторы для второго корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; -t) где t- параметр.

Полученные собственные векторы можно записать в виде: u1 = t(e1 + 0,5e2 ); u2 = t(e1 −e2 ).

77

Пример 4. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного

Решение. Запишем линейное преобразование в виде: x1′ = λx1 = 6x1 − 4x2 x′2 = λx2 = 4x1 − 2x2

(6 −λ)x1 − 4x2 = 0

4x1 −(2 + λ)x2 = 0

Составим характеристическое уравнение:

λ2 - 4λ + 4 = 0;

Корни характеристического уравнения: λ1 = λ2 = 2;

Получаем: (6 − 2)x1 − 4x2 = 0

4x1 − 4x2 = 0

Из системы получается зависимость: x1 – x2 = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; t) где t- параметр.

Собственный вектор можно записать: uG = (e1 +e2 )t .

Рассмотрим другой частный случай. Если х - собственный вектор линейного преобразования А, заданного в трехмерном линейном пространстве,

а х1, х2, х3 – компоненты этого вектора в некотором базисе е1 , е2 , е3 , то x1′ = λx1 ; x2′ = λx2 ; x3′ = λx3 ,

где λ - собственное значение (характеристическое число) преобразования А. Если матрица линейного преобразования А имеет вид:

Раскрыв определитель, получим кубическое уравнение относительно λ. Любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет либо один, либо три действительных корня.

Тогда любое линейное преобразование в трехмерном пространстве имеет собственные векторы.

Пример 5. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования

78

Решение. Составим характеристическое уравнение:

Собственные векторы: u3 = (e1 + 2e2 + е3 ) t.

Пример 6. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования

79

-(3 + λ)((1 - λ)(2 - λ) – 2) + 2(4 - 2λ - 2) - 4(2 - 1 + λ) = 0 -(3 + λ)(2 - λ - 2λ + λ2 - 2) + 2(2 - 2λ) - 4(1 + λ) = 0

-(3 + λ)(λ2 - 3λ) + 4 - 4λ - 4 - 4λ = 0 -3λ2 + 9λ - λ3 + 3λ2 - 8λ = 0

-λ3 + λ = 0 λ1 = 0; λ2 = 1; λ3 = -1;

Пример 7. Пусть дана леонтьевская балансовая модель “затраты-выпуск” (2.15). Определить, будет ли продуктивной матрица технологических коэффициентов A. Найти вектор валовой продукции X при заданном Y, где

A=(1,1250,125 0,1250,125); Y=(300400).

Решение. Для решения вопроса о продуктивности матрицы A следует найти собственные значения этой матрицы. Составим характеристическое уравнение:

или

(0,125 -λ)2 - 0,140625 = 0 0,125 - λ = ± 0,375.

Следовательно, λ1 = 0,5; λ2 = - 0,25. Оба корня по модулю меньше единицы, значит, матрица технологических коэффициентов A продуктивная. Для определения вектора валовой продукции X имеем формулу X = (E - A) −1 Y. Найдем обратную матрицу для матрицы

80