Условия параллельности и перпендикулярности

Для того чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой

Для того чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарны. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.

Понятие гиперплоскости, выпуклого множества

Обобщением понятия плоскости трехмерного пространства на случай

Очевидно, что на декартовой плоскости уравнение (7.26) описывает прямую. Если в n −мерном пространстве задана гиперплоскость (7.26), то этой гиперплоскостью все точки пространства разбиваются на два

полупространства:

Эти полупространства пересекаются по самой гиперплоскости (7.26). Множество Χ точек n −мерного пространства называется выпуклым, если

для любых A, B X справедливо λA + (1 −λ)B X , λ [0,1], т.е. выпуклое

множество наряду с любыми двумя своими точками A и B содержит и все точки отрезка AB .

71

Пересечение любой совокупности выпуклых множеств есть выпуклое множество.

Каждое полупространство (7.27), (7.28) является выпуклым множеством. Гиперплоскость (7.26), как пересечение выпуклых множеств есть выпуклое множество.

Через каждую точку границы выпуклого множества на плоскости проходит, по крайней мере, одна опорная прямая, имеющая общую точку с границей, но не рассекающая это множество.

В трехмерном пространстве через каждую точку границы выпуклого множества проходит хотя бы одна опорная плоскость, оставляющая это множество в одном полупространстве.

Множество Χ точек n −мерного пространства называется ограниченным, если оно имеет конечный диаметр d (Χ) = max ρ( A, B) .

Все знаки неравенств одного смысла могут быть достигнуты умножением, в случае необходимости, обеих частей неравенства на -1. Пересечение этих полупространств, называемое выпуклой многогранной областью, определяет множество решений системы линейных неравенств (7.29). Если это пересечение ограничено, оно называется выпуклым

многогранником n −мерного пространства \n .

Пример 3. Изобразить графически множество решений систем неравенств:

Решение. В общем виде сисиема m линейных неравенств с двумя переменными имеет вид:

Приведем алгоритм нахождения графического решения системы (7.30).

1.шаг. Для каждого неравенства системы на декартовой плоскости строим соответствующую прямую, заменяя в каждом неравенстве знак «неравенства» на знак «равенства».

72

2.шаг. Строим на декартовой плоскости прямые, определяемые каждым равенством.

3.шаг. Методом «контрольной точки» определяем полуплоскость, множество точек которой доставляют решение соответствующему неравенству. В качестве «контрольной точки» удобно брать точку O(0,0) .

Если при подстановке ее координат в исследуемое неравенство получаем верное числовое неравенство, то множеством решений для исходного неравенства является та полуплоскость, в которой лежит контрольная точка. Если же при подстановке координат контрольной точки в исследуемое неравенство получаем неверное числовое неравенство, то множеством решений для исходного неравенства является та полуплоскость, в которой не лежит контрольная точка.

4.шаг. Ответом является область пересечения всех полуплоскостей.

Построим на плоскости четыре прямые, заданные уравнениями x + y = 9, 5x + y = 5, 2x − y = 6, 2 y − x = 6.

Напомним, что для построения прямой достаточно двух точек. Построим прямые по их уравнениям в отрезках

9x + 9y =1, x + 5y =1, 3x + −y6 =1, 3y + −x6 =1

Из рис.3 видно, что решением системы неравенств (1) является множество точек, лежащих внутри и на границе выпуклого четырехугольника ABCD . Решением системы (2) является пустое множество точек. Система неравенств

(3) определяет треугольную область ADE . Система неравенств (3) задает неограниченную область FBCG .

73