БГЭУ 2006 |
лекции по высшей математике для студентов I курса |
|
ст. преподавателя, кандидата физ.-мат. наук Поддубной О.H. |
НаправляющимиG косинусами прямой называются направляющие косинусы вектора s , которые могут быть вычислены по формулам:
cosα = |
m |
; cos β = |
n |
; cosγ = |
p |
(7.15) |
|
m2 + n2 + p2 |
m2 + n2 + p2 |
m2 + n2 + p2 |
|||||
|
|
|
|
НаправляющиеG косинусы вектора s определяют координаты единичного вектора esG , соноправленного с вектором s .
Направляющие косинусы удовлетворяют соотношению:
cos2 α + cos2 β + cos2 γ =1 |
(7.16) |
Числа m, n, p называются угловыми коэффициентами прямой.
• Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки. Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки M1(x1,
y1, z1) и M2(x2, y2, z2), то аналогично как это было сделано в лекции 5 для соответствующего уравнения на плоскости, получаем
x − x1 |
= |
y − y1 |
= |
z − z1 |
(7.17) |
|||||||
x |
2 |
− x |
y |
2 |
− y |
z |
2 |
− z |
||||
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
||||
уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве.
Практическая задача часто состоит в приведении уравнений прямых в
виде (7.11) к каноническому виду (7.14). При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение векторов нормалей к заданным плоскостям.
|
JG |
JJG |
|
iG |
Gj |
kG |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
G |
|
G |
|
B |
C |
|
G |
|
A |
C |
|
G |
|
A |
B |
|
G G G |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= n |
×n = |
|
A B C |
= i |
|
1 |
1 |
|
− j |
|
1 |
1 |
|
+ k |
|
1 |
1 |
|
= im + jn + kp. |
|||
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
2 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
B2 |
C2 |
|
|
|
A2 |
C2 |
|
|
|
A2 |
B2 |
|
|
|
|
|
|
A2 |
B2 |
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 2. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:
2x − y + 3z −1 = 05x + 4 y − z − 7 = 0
Решение. Для нахождения произвольной точки прямой, примем ее координату х = 0, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений.
y = 3z −1 |
|
|
|
|
y = 3z −1 |
|
|
y = 3z −1 |
|
y = 2 |
, т.е. А(0, 2, 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
− z − 7 = 0 |
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4 y |
12z − 4 − z − 7 |
= 0 z |
|
|
|
|
z =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Находим компоненты направляющего вектора прямой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
m = |
|
B1 C1 |
|
|
−1 3 |
|
= −11; |
n = − |
|
A1 |
C1 |
|
= − |
|
2 3 |
|
|
=17; |
p = |
|
A1 |
B1 |
|
= |
|
2 −1 |
|
=13. |
|||||||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
B |
2 |
C |
2 |
|
|
4 −1 |
|
|
|
|
|
A C |
2 |
|
|
|
5 −1 |
|
|
|
|
|
A B |
2 |
|
|
|
5 4 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Тогда канонические уравнения прямой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
− |
x |
|
= |
|
y − 2 |
= |
z −1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
11 |
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Угол между прямыми в пространстве |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
G |
Пусть в пространстве заданы две прямые. Их параметрические уравнения: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
l1: |
|
|
JG |
|
|
JG |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
r |
|
= r |
+ s t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
G |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l2: |
|
|
JG |
|
|
JG |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
r |
|
= r |
+ s |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
69
БГЭУ 2006 |
|
|
|
|
лекции по высшей математике для студентов I курса |
|||||||||||||
|
JG |
|
|
|
ст. преподавателя, кандидата физ.-мат. наук Поддубной О.H. |
|||||||||||||
rG |
= (x , y , z ); |
JG |
= (x , y |
|
, z |
|
); |
JG |
= (m ,n , p ); |
JG |
= (m ,n , p ). |
|||||||
= (x, y, z); r |
r |
2 |
2 |
s |
s |
|||||||||||||
|
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
2 |
||
Угол между прямыми ϕ есть угол между направляющими векторами этих
прямых, который находится из скалярного произведения. Таким образом: |
||||||||||||||
|
|
JG |
|
JG |
|
|
m m |
+ n n |
+ p p |
|
|
|||
cosϕ = |
|
s |
s |
= |
|
|
(7.18) |
|||||||
|
JG1 |
|
JG2 |
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
1 2 |
|
|||
|
|
m2 |
+ n2 |
+ p2 |
m2 |
+ n2 |
|
|||||||
|
|
s |
|
s |
|
+ p2 |
||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
2 |
2 |
2 |
|
Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве
Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.
m1 |
= |
n1 |
= |
p1 |
(7.19) |
|
m2 |
n2 |
p2 |
||||
|
|
|
Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.
m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0 |
(7.20) |
Угол между прямой и плоскостью
Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между
прямой и ее проекцией на эту плоскость. |
|
n |
s |
α |
|
α
ϕ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
+ D = 0 , а прямая - |
G |
JG |
G |
Пусть плоскость задана уравнением n r |
r = r0 |
+ st . Из |
|||||||||||||||||||||
геометрических соображений (см. рис.) видно, что искомый угол |
ϕ = |
π |
±α , где |
||||||||||||||||||||
α – угол между векторами nG |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
и s . Этот угол может быть найден по формуле: |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
sinϕ = |
|
cosα |
|
= |
|
|
nG |
|
Gs |
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.21) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
или в координатной форме: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
sinϕ = |
|
|
|
|
Am + Bn |
|
+Cp |
|
|
|
|
|
(7.22) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
A2 |
+ B2 +C2 |
m2 + n2 + p2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
70