EKh / Материалы по электра / INTG-a

ПрограмА INTG

Інтегрування функції

1. Мета розрахунків

Підрахування значення інтеграла функції у=f(x), заданої числовим рядом – таблицею з  рядків, на заданому інтервалі визначення х_А…х_В .

Програма паралельно виконує апроксимацію вхідних даних поліномом (алгебраїчним багаточленом) заданого ступеню М

, (1)

Ця процедура дозволяє представити табличні експериментальні дані формулою (1), коефіцієнти якої і визначаються програмою.

Алгоритм.

Апроксимація експериментальних даних виконується програмою “APR” методом найменших квадратів. Програма “APR” входить як внутрішній елемент головної програми.

Інтеграл функції у=f(x),

, (2)

визначається одночасно двома способами – безпосередньо числовим інтегруванням по таблиці вхідних даних, і після її попередньої апроксимації поліномом .

Інтегрування заданого числового ряду провадиться методом трапецій на повному заданому інтервалі від значення “х” в першому рядку до значення в останньому рядку. Крок інтегрування може бути змінний, він визначається сусідніми парами значень абсциси “х” у вхідних даних:

. (3)

Інтегрування полінома провадиться методом трапецій з постійним кроком х =х/N_П , де N_П –кількість кроків дискретизації. Число N_П визначається в самій програмі через задане значення кроку х, N_П =(х_В-х_А)/ х :

. (4)

де х_В та х_А – відповідно значення аргумента “х” на правій та лівій межі області інтегрування по координаті “Ох”.

Для порівняння результатів інтегрування двома способами потрібно задати значення х_В та х_А такі, які співпадають з початком і кінцем повного інтервалу у вхідних даних (перший та останній рядки в таблиці).

3. Форми вхідних даних

Вхідні дані вводять в файл INTG.DAT, який має форму

_N___M____XMAX___YMAX___DX____XA____XB____index

9 4 40 0.5 0.5 10 30 2

-------------------------------------

4 0.163

5 0.21

10 0.31

15 0.34

…… …………………

35 0.17

40. 0.12

Пояснення позначень в заголовках наведені в таблиці:

N		Кількість пар чисел (рядків експериментальних даних). Якщо вказано число N менше, ніж записана кількість рядків даних у файлі, буде використано тільки N рядків, всі наступні ігноруються. Якщо число N більше, ніж записана кількість рядків, це помилка і програма не виконується. Максимальне значення - N =50.
M (MN)		Кількість коефіцієнтів полінома. Ступінь полінома дорівнює М-1. Значення М повинно бути меншим за число N, інакше рішення буде неправильним.
XMAX YMAX		максимальні «круглі» значення на осях «х,у» ,які визначають масштаб графіка (значення на кінцях шкали).
DX		Крок числового інтегрування функції-полінома по координаті “Ох”.
XA		Ліва межа області інтегрування полінома на осі «Ох».
XB		Права межа області інтегрування полінома на осі «Ох».
іndex		Числовий індекс для виводу на екран графіка: дані інтегрування по введених точках у=f(х). Дані інтегрування по поліному. Дані інтегрування і по точках і по поліному.

4. Форма вихідних даних

Вихідні дані виводяться в двох формах – як графіки на екрані, і в числовій формі в файл INTG.rez.

Графіки.

1. На всіх рисунках кружками позначені експериментальні точки (вхідні дані).

Рис.1. Графічна інформація програми INTG в трьох формах, які віповідають значенням числового індекса відповідно 1,2 та 3.

2. В верхній частині рисунка наведені два або чотири числа:

• (Іndex=1) - значення повного інтегралу (на всій області визначення від х=0 до останнього значення “х” в таблиці), підрахованого лише за табличними точками та “середня лінія” – значення “у”, яке відповідає ординаті “у” прямокутника з площею S=yx, що дорівнює інтегралу.

• (Іndex=2) - значення інтегралу на області визначення від х=ХА до х=ХВ ; підраховується інтегруванням полінома з заданим кроком DX та “середня лінія” –значення “у”, яке відповідає ординаті “у” прямокутника з площею S=y(ХВ-ХА).

• (Іndex=3) – чотири числа, вказані в двох попередніх варіантах.

3. зліва в середині рисунка – два числа: кількість експериментальних точок  в таблиці і кількість коефіцієнтів полінома М.

4. Графіки :

• в першому варіанті (index =1) - ламана лінія, яка з”єднує експериментальні точки, введені в файлі INTG.DAT;

• в другому варіанті (index =2) – графік апроксимаційного полінома і штрихові вертикальні лінії з кроком DX в області інтегрування XA…XB.

• В третьому варіанті (index =3) наводяться обидві інформаційні групи разом.

• В усіх випадках виводиться середня лінія (пунктир).

Файл результатів INTG.rez , в окремих варіантах дещо відрізняється.

В першому варіанті (index =1) дані інтегрування виводяться тільки для вхідної таблиці, в другому (index =2) варіанті - дані інтегрування апроксимаційного полінома на заданому інтервалі, а в третьому варіанті (index =3) - обидві групи даних.

Вариант по индексу 1

_N___M____XMAX___YMAX___DX____XA____XB____index

9 4 40.0 0.50 0.5 10.0 30.0 1

E = k0 + k1*t + k2*t**2 + k3*t**3 + ....

k0= 0.016194 k1= 0.046892 k2= -0.002045 k3= -0.002045

интеграл трапециями по введенным точкам

___N______X__________Y:Exper__Y-Appr____ИНТ-ШАГ__ИНТЕГРАЛ

1 4.0000 0.1630 0.1725

2 5.0000 0.2100 0.2025 0.1865 0.1865

3 10.0000 0.3100 0.3041 1.3000 1.4865

… ……. ……………….. ……………………………….

7 30.0000 0.2200 0.2174 1.2250 7.4615

8 35.0000 0.1700 0.1606 0.9750 8.4365

9 40.0000 0.1200 0.1251 0.7250 9.1615

Вариант по индексу 2

_N___M____XMAX___YMAX___DX____XA____XB____index

9 4 40.0 0.50 0.5 10.0 30.0 2

E = k0 + k1*t + k2*t**2 + k3*t**3 + ....

k0= 0.016194 k1= 0.046892 k2= -0.002045 k3= -0.002045

интеграл трапециями по аппроксимации

______N_____X________Y-appr____ИНТ-ШАГ___ИНТЕГРАЛ

точек аппрокс NG1= 39

1 10.0000 0.3041 0.0000

2 10.5000 0.3103 0.1536 0.1536

3 11.0000 0.3158 0.1565 0.3101

…………………………. ………………………….

39 29.0000 0.2298 0.1164 5.8361

40 29.5000 0.2236 0.1133 5.9495

41 30.0000 0.2174 0.1102 6.0597

1-Рядок вхідних констант (копія першого рядка вхідного файла).

2-Значення коефіцієнтів полінома E() , позначених як k0, k1, k2, ….k_M- Для подальшого практичного (окремого) використання досить обмежитись першими трьома значущими цифрами коефіцієнтів полінома.

Вариант по индексу 3

_N___M____XMAX___YMAX___DX____XA____XB____index

9 4 40.0 0.50 0.5 10.0 30.0 1

E = k0 + k1*t + k2*t**2 + k3*t**3 + ....

k0= 0.016194 k1= 0.046892 k2= -0.002045 k3= -0.002045

интеграл трапециями по введенным точкам

___N______X__________Y:Exper__Y-Appr____ИНТ-ШАГ__ИНТЕГРАЛ

1 4.0000 0.1630 0.1725

2 5.0000 0.2100 0.2025 0.1865 0.1865

3 10.0000 0.3100 0.3041 1.3000 1.4865

… ……. ……………….. ……………………………….

7 30.0000 0.2200 0.2174 1.2250 7.4615

8 35.0000 0.1700 0.1606 0.9750 8.4365

9 40.0000 0.1200 0.1251 0.7250 9.1615

интеграл трапециями по аппроксимации

______N_____X________Y-appr____ИНТ-ШАГ___ИНТЕГРАЛ

точек аппрокс NG1= 39

1 10.0000 0.3041 0.0000

2 10.5000 0.3103 0.1536 0.1536

3 11.0000 0.3158 0.1565 0.3101

…………………………. ………………………….

39 29.0000 0.2298 0.1164 5.8361

40 29.5000 0.2236 0.1133 5.9495

41 30.0000 0.2174 0.1102 6.0597

3-Порівняльна таблиця даних для всіх експериментальних точок : номер «», значення «х», табличне Y:Exper та апроксимоване Y-Appr значення «у» , площа трапеції на черговому крокові (вираз 3 або 4 ) ИНТ-ШАГ, поточне значення інтеграла ИНТЕГРАЛ.

5. Примітки та зауваження

5.1. Якщо перший рядок вхідних даних починається з нульових значень, замість нулів «х» та «у» потрібно вводити малі (близькі до нуля) числа.