4.2.2. Теорія найбільших лінійних деформацій

Наприкінці XVII сторіччя (1682) на противагу першій теорії французьким абатом Маріоттом була висунута ще одна теорія – теорія найбільших лінійних деформацій. З цією теорією пов'язують імена таких вчених, як Сен-Венан, Понселе, Нав’є. Відповідно до цієї теорії небезпека руйнування матеріалу викликається зміною відстаней між частками, що характеризується відносним подовженням. У своєму початковому вигляді ця теорія допускала небезпеку руйнування як при зовнішньому віддаленні часток одна від одної, так і при їх зайвому зближенні. Небезпечний стан відповідно до цієї теорії можна описати таким чином:

,

де  найбільша лінійна деформація, викликана дією головних напружень: . В якості максимальної лінійної деформації приймаємо. Відповідно до узагальненого закону Гука (3.73) найбільша відносна лінійна деформація має вигляд:

, (а)

де  гранична деформація, отримана з випробувань на розтягання або стискання.

Допустиме значення для відносної деформації при лінійному напруженому стані можна одержати з закону Гука:

(б).

Згідно з цією теорією напружений стан у точці залишається безпечним, доки найбільша відносна деформація в цій точці не досягне деякої допустимої для даного матеріалу величини, визначеної з випробувань на осьове розтягання або стискання.

З урахуванням виразів (а) і (б) математично цю теорію можна описати так:

. (4.18)

Перевага цієї теорії у порівнянні з першою полягає в тому, що ця теорія враховує вплив на оцінку міцності матеріалу всіх трьох головних напружень. Однак, ця теорія не підтверджується експериментом для пластичних матеріалів. Це пояснюється тим, що при обчисленні еквівалентних напружень відповідно до цієї теорії лише одне з головних напружень бере участь цілком. Два інших беруть участь в оцінці міцності з коефіцієнтом Пуассона, величина якого для більшості конструкційних матеріалів менша за 0,5 ().

Досвід випробувань показав, що ця теорія трохи краща за першу, підтверджується експериментом для крихких матеріалів і дотепер зустрічається в техніці. Пояснюється це, зокрема, значною роботою, виконаною у свій час Сен-Венаном по детальній розробці застосування цієї теорії до вирішення практичних задач. Багато спеціалізованих формул, запропонованих ним, дотепер зустрічаються в літературі під ім'ям формул Сен-Венана.

4.2.3. Теорія найбільших дотичних напружень

Ця теорія вперше була запропонована Кулоном (1773). З нею пов'язані імена таких вчених, як Гест, Треска, Сен-Венан. Німецьким вченим Мором було зроблене доповнення до цієї теорії, яке одержало надалі назву п'ятої теорії (теорії Мора). Ця теорія буде розглянута нижче.

Причиною руйнування відповідно до третьої теорії міцності є деформація зсуву, викликаного дотичними напруженнями.

Усередині XIX сторіччя німецький вчений Людерс і російський вчений Чернов незалежно один від одного при проведенні досліджень на розтягання стержнів з маловуглецевої сталі в момент настання текучості знайшли під мікроскопом на поверхні відполірованих зразків лінії (лінії Чернова-Людерса), кут нахилу яких склав 45⁰ з поперечним перерізом стержня. Поява цих ліній і їх нахил були пов'язані з виникненням деформації зсуву в кристалічних решітках металу, обумовленої дією максимальних дотичних напружень. З цим явищем пов'язують також перехід сталі в пластичний стан – стан текучості. Паралельно з цими дослідженнями проводилися дослідження французького вченого Треска. Обґрунтування ж цієї теорії було виконано Сен-Венаном.

Небезпечний стан відповідно до третьої теорії міцності виникає в тому випадку, коли максимальні за величиною дотичні напруження досягнуть граничної величини для дотичних напружень, отриманих з випробувань на розтягання або стискання:

.

Максимальне дотичне напруження для багатовісного напруженого стану обчислюється за формулою (3.43), наведеною в темі №3 даного посібника:

. (в)

Допустиме значення для дотичниого напруження при осьовому розтяганні дорівнює:

. (г)

Еквівалентне напруження відповідно до третьої теорії міцності з урахуванням виразів (в) та (г) має вигляд:

. (4.19)

З огляду на все те, що було перелічене вище, третя теорія міцності може бути сформульована таким чином: напружений стан у точці залишається безпечним, доки найбільше дотичне напруження, яке діє у цій точці, не досягне деякої допустимої для даного матеріалу величини, визначеної з випробування на осьове розтягання або стискання.

Недоліком цієї теорії є те, що ця теорія ніяким чином не враховує впливу середнього напруження. Виходить, що при сталому найбільшому головному напруженні і сталому найменшому головному напруженніми можемо, не змінюючи умов роботи матеріалу, як завгодно змінювати величину середнього напруження, аби воно було б меншим заі більшим за. Ця обставина представляється сумнівною, і експерименти підтверджують, що величина середнього напруження усе ж таки впливає на міцність матеріалу. Недооцінюється цією теорією і небезпека порушення міцності елементів, які зазнають приблизно рівні розтягальні напруження у трьох головних напрямках.

Дослідження показали, що ця теорія міцності досить добре підтверджується результатами випробувань пластичних матеріалів, але вона зовсім непридатна для крихких матеріалів (вірніше, у тих випадках, коли має місце крихке руйнування). У зв'язку з цим на практиці цю теорію використовують тільки для пластичних матеріалів.