11.4. Основний зміст методу сил
Основний зміст методу сил (його ідея) полягає в наступному. У розглядуваній статично невизначуваній стержневій системі відкидаються “зайві” зв'язки, кількість яких дорівнює ступеню статичної невизначуваності. Система, яка при цьому отримується, виявляється статично визначуваною. Обов'язковою умовою, яка висувається до цієї системи, є умова її геометричної незмінюваності. Дія відкинутих зв'язків замінюється невідомими силами (“зайвими” невідомими), у місці відкинутих зв'язків визначаються переміщення за напрямками відкинутих зв'язків від зовнішнього навантаження і від “зайвих” невідомих і прирівнюються нулю. Отримана система рівнянь розв’язується відносно невідомих сил, які діють у “зайвих” зв'язках. Звідси і назва методу. Покажемо застосування методу сил на простому прикладі.
Розглянемо один раз статично невизначувану балку (Рис.11.19). Потрібно розкрити її статичну невизначуваність і побудувати епюри згинальних моментів і поперечних сил.
У перерізі А балка має жорстку опору, яка виключає переміщення і поворот перерізу. Така опора відповідає наявності трьох зв'язків. На правому кінці балка спирається вільно і має один зв'язок. Таким чином, балка має чотири зв'язки. Ступінь статичної невизначуваності балки дорівнює одиниці.
Зобразимо
балку і розставимо “характерні”
перерізи: на лівому кінці, посередині
і на правому кінці (Рис.11.19,а). Обірвемо
один зв'язок у перерізі В і дію зв'язку
замінимо реакцією
(Рис.11.19,б). Величина цієї реакції невідома,
але вона має бути такою, щоб вертикальне
переміщення перерізу В дорівнювало
нулю. У цьому полягає умова еквівалентності
вихідної системи (Рис.11.19,а) і статично
визначуваної системи, зображеної на
рис.11.19,б. Щоб описати умову еквівалентності
двох систем, скористаємося принципом
незалежності сил. Спочатку зобразимо
балку, навантаживши її тільки зовнішнім
навантаженням (Рис.11.19,в). Переміщення
перерізу В, викликане зовнішнім
навантаженням, позначимо
.
Далі зобразимо балку, навантажену
тільки зосередженою силою
.
Переміщення перерізу В, викликане цим
навантаженням, позначимо
.
Сума цих переміщень має дорівнювати
нулю, тому що у вихідній системі переріз
В у вертикальному напрямку не переміщується:
(11.6)
Рівняння (11.6) зручно записувати у канонічній формі:
,
(11.7)
де
.
Тут
переміщення, викликане силою, рівною
одиниці, прикладеною в перерізі В
(Рис.11.19,е).
Невідому
реакцію
можна визначити з рівняння (11.7), якщо
попередньо знайти переміщення
,
яке назвемо вантажним, і переміщення
,
яке назвемо одиничним.
Щоб
визначити вантажне переміщення
,
побудуємо вантажну епюру згинальних
моментів (Рис.11.19,д), одиничну епюру
(Рис.11.19,ж) і перемножимо їх, скориставшись
формулою Мора-Сімпсона:
.
(11.8)
Рис.11.19
У розглянутому прикладі:
.
Одиничне
переміщення
знайдемо, помноживши одиничну епюру
(Рис.11.19,ж) саму на себе, скориставшись
формулою трикутників:
,
(11.9)
де
кількість ділянок у стержневій системі.