4. ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ ДЛЯ ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ І ПОБУДОВИ ГРАФІКІВ
Література: [1, розділ 6, п. 6.6, 6.7]; [2, розділ 5, п. 5.5-5.8]; [3, розділ 4, п. 4.3]; [5, глава 7, § 2]; [8, розділ 2, п. 2.12, 2.16]; [11, розділ 2, п. 2.12, 2.16]; [13, розділ 6, § 20, 21]; [4, розділ 3, глава 8]; [15, розділ 3, § 5, 9, 11]; [16, розділ 6, п. 6.6-6.8].
Індивідуальне завдання 4.1
У задачах 1, 2 провести повне дослідження функцій і побудувати їх графіки [16].
1.y = x2 - 2x + 2 .
x-1
1
3. y = e(3+x) .
5. y = 4x - x2 - 4 . x
7. y = ln x . 
x
9. y = x - ln(1 + x2 ).
11. y = x2 - 2ln x.
13.y = x2 - x -1.
x2 - 2x
15. |
y = -ln |
1 |
+ x |
. |
||||
|
|
|
||||||
|
|
x2 |
1 |
- x |
||||
17. |
y = |
+ 6 |
. |
|
|
|||
x2 |
+1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
19. |
y = (x -1)e3x+1. |
|||||||
21. |
y = |
2x -1 |
. |
|||||
|
||||||||
|
|
(x -1)2 |
||||||
Задача 1
2. |
y = |
x +1 |
|
. |
|
||||
(x -1)2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||
4. |
y = |
x |
|
|
|
||||
|
|
. |
|
||||||
(9 - x) |
|||||||||
6. |
y = |
x |
2 |
|
|
. |
|
||
4x2 |
-1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
8. |
y = x + |
ln x |
. |
|
|||||
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
10. |
y = |
|
x2 |
|
|
. |
|||
x2 - x +1 |
|||||||||
12. |
y = x3e-x2 / 2 . |
||||||||
14.y = (x - 2)2 .
x+1
16.y = ln(x2 +1).
18. y = x ln x.
20.y = x2 - 3x + 2 .
x+1
22. y = |
x5 |
||
|
|
. |
|
x4 |
|
||
|
-1 |
||
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
52
23. y = (x3 + 4) . x2
x3
25. y = (x4 -1) .
27.y = x2 + 1 .
x2
29. y = 4 - 2x .
1 - x2
1. y = e2 x-x2 .
3.y = 2(x +1)2 .
x- 2
5. y = 4ex2 -1. ex2
7. |
y = xe1/ x . |
|
|
|||||
9. |
y = |
|
(1 - x)3 |
. |
||||
|
(x - 2)2 |
|||||||
|
|
|
|
|||||
11. |
y = x2e1/ x . |
|
|
|||||
13. |
y = (x + 2)e1-x . |
|||||||
|
y = |
æ x - 2 |
ö2 |
|||||
15. |
ç |
|
|
|
÷ . |
|||
|
|
|
||||||
|
|
è x +1 |
ø |
|
||||
17. |
y = (x + 1)e2 x . |
|||||||
|
y = |
|
|
x4 |
|
|
||
19. |
|
|
. |
|
||||
|
|
|||||||
|
|
|
x3 -1 |
|
|
|||
21. |
y = ln(1 -1/ x2 ). |
|||||||
23. |
y = x - ln(1 + x2 ). |
|||||||
25. |
y = (x -1)e4 x+2 . |
|||||||
27. |
y = -x ln 2 x. |
|
||||||
29. |
y = e1/(2-x) . |
|
||||||
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24. |
y = |
x |
2 |
(x - 5). |
||||||||||
3 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
26. |
y = |
(x2 x |
+1) |
|
. |
|
||||||||
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
28. |
y = |
5x4 + 3 |
. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
30. |
y = |
|
|
5x |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||
|
4 - x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задача 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
y = x + ln(x2 - 4). |
|||||||||||||
4. |
y = x ln 2 x. |
|
|
|
|
|
||||||||
6. y = x2e-x2 / 2 . |
|
|
||||||||||||
8. |
y = |
|
|
2 + x |
|
|
. |
|
|
|||||
|
(x +1)2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
10. |
y = xex . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
12. |
y = x2 /(x + 2)2 . |
|
||||||||||||
14. |
y = |
ln x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
y = |
|
|
x3 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||
|
9 - x2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
18. |
y = 4x /(4 + x2 ). |
|
||||||||||||
20. |
y = ln(x2 - 2x + 6). |
|||||||||||||
22. |
y = x3ex+1. |
|
|
|
|
|
||||||||
24. |
y =1 - ln3 x. |
|
|
|||||||||||
26. |
y = |
|
2x2 + |
|
2 + 4x |
. |
||||||||
|
|
|
|
2 - x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
28. |
y = x2 - 2ln x. |
|
||||||||||||
30. |
y = ln(4 - x2 ). |
|
||||||||||||
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
53
Задача 3
Знайти найменше та найбільше значення функції y = f (x) на від-
різку [a; b] [16]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
y = ln(x2 - 2x + 2), |
[0; 3]. |
2. |
y = 3x /(x2 +1), |
[0; 5]. |
|||||||||||||
3. |
y = (2x -1) /(x -1)2 , |
[-1/ 2; 0]. |
4. |
y = (x + 2)e1-x , |
[-2; 2]. |
|||||||||||||
5. |
y = ln(x2 - 2x + 4), |
[-1; 3/ 2]. |
6. |
y = x3 /(x2 - x +1), |
[-1;1]. |
|||||||||||||
|
y = ((x +1) / x)3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. |
[1; 2]. |
8. |
y = |
|
x - x3 |
, |
[0; 1]. |
|
||||||||||
9. |
y = 4 - e-x , |
[0;1]. |
|
10. |
y = (x3 + 4) / x2 , [1; 2]. |
|||||||||||||
11. |
y = xex , [-2; 0]. |
|
12. |
y = (x - 2)ex , |
[-2; 1]. |
|||||||||||||
13. |
y = (x -1)e-x , |
[0; 3]. |
14. |
y = x /(9 - x2 ), |
[-2; 2]. |
|||||||||||||
15. |
y = (1 + ln x) / x, |
[1/ e; e]. |
16. |
y = e4 x-x2 , |
|
|
|
[1; 3]. |
|
|||||||||
17. |
y = (x5 - 8) / x4 , |
[-3; -1]. |
18. |
y = |
e2x +1 |
, |
|
[-1; 2]. |
||||||||||
|
|
ex |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
19. |
y = x ln x, |
[1/ e2 ; 1]. |
|
20. |
y = x3ex+1, |
|
|
|
[-4; 0]. |
|||||||||
|
y = (x2 - 2x + 2) /(x +1), [1; 3]. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
21. |
22. |
y = (x +1)3 |
x2 |
, |
[-4 / 5; 3]. |
|||||||||||||
23. |
y = e6 x-x2 , |
[-3; 3]. |
|
24. |
y = (ln x) / x, |
[1; 4]. |
||||||||||||
25. |
y = 3x4 -16x3 + 2, |
[-3; 1]. |
26. |
y = x5 - 5x4 + 5x +1, [-1; 2]. |
||||||||||||||
27. |
y = (3 - x)e-x , |
[0; 5]. |
28. |
y = |
|
|
|
/ 2 + cos x, |
[0; p / 2]. |
|||||||||
|
|
3 |
||||||||||||||||
29. |
y =108x - x4 , |
[-1; 4]. |
30. |
y = x2 / 4 - 6x3 + 7, |
[16; 20]. |
|||||||||||||
ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”
54