3.3. Скорость и ускорение при траекторном (естественном) способе описания движения.

Этот способ применяется, когда точка движется по заданной линии (траектории).

Уравнением задается линия, по которой движется точка; закон движения по

ней , где– дуговая координата, т.е. длина дуги со знаком.

τ

n



Базисные векторы вводятся следующим образом:

–единичный вектор ( орт ) касательной,

где -кривизна, а -единичный вектор главной нормали

–т.н. вектор бинормали

Векторы лежат в так называемой соприкасающейся плоскости – предельном при положении плоскости, содержащей (s) и(s+. Кривизнахарактеризует скорость изменения направления касательной; обратную к ней величину ρ =. называют радиусом кривизны траектории.

Вектор скорости , где является (единственной) проекцией вектора скорости на направление касательной и может быть любого знака.

Дифференцируя еще раз, получаем вектор ускорения

.

Производную также запишем как производную сложной функции ,

Тогда , где (3.6)

- касательное (тангенциальное ) ускорение,

- нормальное ускорение.

Глава 4. Кинематика твердого тела

Твердым телом будем называть тело, расстояния между точками которого не изменяются в

процессе движения.

Если в качестве модели реального объекта рассматривается тело, состоящее из тел-точек, положение которых описывается не только вектором положения, а и ориентацией (т.е. тела-точки могут вращаться), то в определение следует добавить слова « и взаимная ориентация не изменяется».

4.1 Кинематика плоского движения.

Плоским движением называется движение, при котором траектории ( а следовательно и скорости) всех точек тела лежат в плоскостях, параллельных одной фиксированной плоскости. Таково, например, движение книги по ровному столу. Ясно, что достаточно изучить движение одного лишь сечения – плоской фигуры (одного листа книги).

4.1.1 Основная формула кинематики твердого тела .Формула Эйлера

Положение твердого тела вообще и плоской фигуры в частности описывается вектором положения какой-либо точки А, называемой полюсом, и ориентацией, которую удобно описывать с помощью жестко связанной с телом тройки векторов. Для простоты возьмем ортонормированную тройку векторов, которые в отсчетном положении обозначаются , а в актуальном в момент времени. В качестве отсчетного положения чаще всего удобно взять положение в момент времени, тогда,но иногда в качестве отсчетного удобнее взять положение, которое тело никогда не занимало в прошлом и, возможно, никогда не займет в будущем.

B

B



(t)

А

Рис.4.1.

При плоском движении ориентация задается одним углом (t). Введем вектор угловой

скорости , где единичный векторперпендикулярен плоской фигуре , а его

направление согласовано с положительным направлением отсчета угла (t) в соответствии

с принятой ориентацией пространства. Так, в правоориентированном пространстве

направлен так, что с его с конца положительное направление отсчета угла (t) видно происходящим против часовой стрелки, т.е. « на нас» (рис 4.1). Заметим, что независимо от выбора

положительного направления отсчета угла (t) вектор направлен « на нас», если фигура

в данный момент времени вращается против часовой стрелки.

Запишем очевидное равенство . (4.1)

Обозначим для краткости и разложимпо актуальному базису :,

где координаты постоянные.

Разложим по отсчетному базисуи продифференцируем по

времени: . Нетрудно убедиться, что=и совершенно

аналогично , откуда следует или

(4.2)

Эта формула называется формулой Эйлера и она справедлива не только для плоского, но и

для произвольного движения твердого тела.

Дифференцируя (4.1), получим с учетом (4.2) или

(4.3)

Эту формулу будем называть основной формулой кинематики твердого тела.

Слагаемое называют вращательной скоростью точки B вокруг полюса A.

Направление этого перпендикулярного к слагаемого легко получить, вращая фигуру

вокруг полюса А – отсюда и его название.

На рисунке - круговой вектор В

угловой скорости, которому

сопоставляется прямой .

А