5.2.4. Главные оси и главные моменты инерции.

Начнем с определения:

Если для тензора второго ранга существует вектортакой, что, то числоназывается главным (собственным) значением тензора,собственным вектором, а ось, задаваемаяглавной осью тензора.

Теорема о приведении тензора инерции к главным осям.

Тензор инерции, как и любой симметричный тензор, имеет тройку ортогональных собственных векторов и тройкувещественных собственных значений (главных моментов) , причем:

1. Если собственные значения различны, то собственные векторы определяются единственным образом и тензор инерции имеет вид

2. Если два собственных значения равны, например , то однозначно

определяется собственный вектор , алюбые перпендикулярные к( и друг к другу); в этом случае.

Такой тензор называется трансверсально-изотропным; он не изменяется, если тело вращать вокруг оси изотропии, задаваемой .

3. Если равны все собственные значения , толюбая

ортонормированная тройка и тензор инерции называется шаровым

Эта теорема доказывается в курсе линейной алгебры как теорема о собственных числах (значениях ) и собственных векторах симметричной матрицы.

Применительно к тензору инерции ее содержание сводится к тому, что существует по меньшей мере одна тройка главных осей, т.е. осей, относительно которых центробежные моменты инерции равны нулю и тензор инерции в этих осях имеет вид

. Поскольку ориентация тройки осей задается тремя параметрами (например, углами Эйлера), то существует возможность сделать равными нулю три центробежных момента.

В некоторых случаях, когда тело обладает каким – либо видом симметрии, то согласно физическому принципу Кюри-Неймана этой же симметрией должен обладать и тензор инерции; тогда главные оси могут быть найдены из соображений симметрии.

Так, например, если тело обладает плоскостью симметрии BXZ , то перпендикулярная ей ось Y является главной (рис.5.3а) . Действительно, центробежные моменты

и равны нулю, поскольку каждому элементу с координатами

соответствует симметричный с координатами .

Если имеется еще одна плоскость симметрии BYZ, перпендикулярная первой, то ось Х

(а, следовательно, и Z) тоже главная: и, так что

тензор инерции для любой точки В, находящейся на линии пересечения этих плоскостей,

имеет вид

.

Если тело осесимметричное (рис.5.3б), то любая плоскость, содержащая ось Z , является плоскостью симметрии и, в дополнение ко всему вышесказанному ясно, что ;

так что тензор инерции трансверсально-изотропный

Z Z Z

а) б) в)

В В