2. Случай гармонических обобщенных сил. Пример: динамический гаситель

Если вектор - столбец обобщенных сил имеет вид , то частное решение системы (12) можем найти в виде:

, откуда получаем систему линейных уравнений относительно амплитудного вектора :

Решение этой системы можем получить, например, с помощью формулы Крамера

,

где определитель системы, аопределитель, в котором «K – й» столбец заменен столбцом.

Пример. Динамический гаситель колебаний. Антирезонанс.

Движение тела массы , закрепленного на упругой опоре жесткости, под действием

силы , описывается уравнением

,

частное решение которого (чисто вынужденные колебания) имеет вид

квадрат собственной частоты.

Сила моделирует, например, причину колебаний корпуса двигателя ввиду неуравновешенности его движущихся частей.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (амплитудно - частотная характеристика) имеет вид :

Прикрепим к телу груз на пружине жесткостью.

Подставляя кинетическую и потенциальную энергии системы

,

в уравнения Лагранжа получим

Отыскивая частное решение этой системы виде , получим

,

Откуда , где определитель системы

.

Из выражения для видно, что, если массуи жесткость пружины«дополнительного» тела, называемого динамическим гасителем, подобрать так, чтобы, то амплитуда колебаний« основного» тела, на которое действует сила, будет равна нулю:; это невозможное для статических задач свойство динамических задач называетсяантирезонансом.

Замечание. Динамический гаситель колебаний, позволяющий уменьшить вибрацию вблизи номинальной рабочей частоты, превращает защищаемый механизм в систему с двумя степенями свободы и, соответственно, с двумя резонансными частотамии,которые являются собственными частотами и определяются из уравнения

,

где ( гаситель настроен на частоту).

Это уравнение можно переписать в виде

,

где обозначено . Корни этого уравнения лежат по разные стороны от рабочей частотыи собственной резонансной частоты ( см. рисунок), поэтому при выводе механизма на рабочую частоту возникает проблема перехода через резонансную частоту.

Литература

1.Кочин Н.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления.М.: Наука, 1965. 427с.

2. Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: Наука, 1990.414с.

3. Жилин П.А. Векторы и тензоры второго ранга в трехмерном пространстве.-

Санкт-Петербург,Изд-во «Нестор»,2001.275с.

4. Елисеев В.В. Механика упругих тел. СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2003.336с.

5. Жилин П.А. Теоретическая механика. Фундаментальные законы механики:

Учеб. Пособие. СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2003.340с.

6. Айзерман М.А. Классическая механика.- М., Наука,: 1974.367с.

7. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике.- М., Наука, 1966.

8. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний: Учебник для вузов. -М.:

Высш.школа,1980. – 408с.